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Una funzione continua è ovunque definita, se si conoscono i 
valori da essa raggiunti in una serie continua di punti. 
Quanio si ponga mente che una successione continua contiene delle altre, ed 
in numero illimitato, ne emerge che non è possibile il dare dati necessari e suffi- 
cienti per determinare una funzione continua. Il valore da attribuirsi alla medesima 
in un punto x nel quale non è definita è 
97 (+0) = War (+0) i GE (0) sd (0) salon di y 
11. Dei vari modi possibili di comportarsi di una funzione continua tra a e bd, 
quando sì converga al valore a oppure b. 
1. Se tendiamo al punto a+0 e se la /(x) è in esso finita si potranno trac- 
ciare due rette y= 0, (+0) +0, y= (+0) — c(c> 0) tali, che la immagine 
della f(x) nel segmento @+0 a+% sia nella lista di piano da esse determinata, 
essendo una quantità positiva scelta opportunamente. Esprimeremo questo fatto di- 
cendo che la f(x) oscilla per 2=a+0 tra le due quantità 9,(+0), 04(-+0); se 
fosse 9,(+0) = (+0) la (2) convergerebbe ad un valore per «=4+0; servano 
ad esempio di questi due casi le funzioni sen 2g: 
Indichiamo con o(x) e 4 (x) il limite superiore ed inferiore della /(x) nel 
tratto a+0 rispettivamente. Queste funzioni sono continue in esso intervallo. 
Infatti, la @(x) è una funzione finita che ha un valore in ciascun punto del 
medesimo ed è scevra da infiniti massimi e minimi. Se ci avviciniamo quindi in- 
definitamente al punto 21+0(a<x1<%) tenderemo. ad un valore, che dico essere 
il limite superiore dei valori della f(x) nell’ intervallo @+0x,. Ed invero, se ciò 
non avesse luogo, sarebbe 0(21+ 0) > © (21), non essendo al certo 0(21+0)<%(21). 
Ma, neppure la diseguaglianza o(d1+0)> (2) può verificarsi; poichè, se avvici- 
nandomi indefinitamente al punto x2,-+0 io avverto che una funzione 9(x), continua 
perxe=x;, assume valori maggiori di A, potrà essere 0(21+-0)=0(21)=A. Se però sapessi 
che la 9(x) raggiunge valori maggiori di A di una grandezza assegnabile per quanto 
si vada vicino al punto xx+0, non si avrebbe 01 (21+0)==01 (21) =A, ma bensì 
9(c1) > A. Ora, supposto 0(21+0)>@ (x), la / (x) raggiungerebbe nelle estreme 
vicinanze del punto x,+0 valori, che sono più grandi di @(x3) di una quantità non 
minore di g(21+-0) —@(x1), sarebbe quindi f(21) > (21), la qual cosa non po- 
tendo aver luogo, sarà: 
o(d1+ 0) = (21). 
In modo analogo sì dimostra la eguaglianza o(v1—0)=9(1); l’asserto è quindi vero. 
In guisa del tutto conforme si dimostra la continuità della funzione W(@). 
2. Accenno ora ad alcune relazioni che passano tra le funzioni /(2) e gp (2). 
Se per e=x1+0 la @(x) decresce, avremo 9(21) =f(21). Ed invero, per la 
fatta ipotesi la f(x) assume valori più grandi di @(x1) per quanto ci accostiamo al 
punto x;+0, laddove a sinistra del punto 4, le sue ordinate non sono superiori 
