ZIONE 
a ©(c1). Ne consegue che, se la (x) decresce sempre nell’intervallo #1%2(11<%2), 
la data funzione raggiunge il limite superiore dei suoi valori nel segmento ac(x1<e<x,). 
La (x) ha un valore costante quando la data funzione non raggiunge il limite 
superiore nel tratto a+0. Infatti, supposto che ciò non abbia luogo, sarà in un 
certo intervallo ar1(a <@1<2) g(21) <o(x). Ne consegue che il limite superiore 
della f(x) è eguale a @(x) nel segmento «1%, e questo valore viene anche conse- 
guito in un punto del medesimo, essendo la data funzione continua tra x, ed x, i 
limiti inclusi. Questa conseguenza contrasta con l’ipotesi, onde l’asserto è dimostrato. 
La reciproca non è vera, ad es. la funzione sen n 
do 
° Si ponno fare analoghe considerazioni rispetto alla funzione 4 (w). 
8. Supposto che le due rette y=d%(a+0), y=0(4+-0) sieno distinte studiamo il 
modo di comportarsi della f(x) nelle estreme vicinanze del punto a+0. A tal fine 
non sarà inopportuno il considerare insieme la imagine della /() e della retta y=D 
(e (A-+-0)<D<wW (a+9)). Osservo anzitutto che questa retta ha un numero il- 
limitato di punti comuni con la data funzione nel tratto a-+0 a+, essendo una 
quantità positiva arbitraria. Infatti, la /(x) non è eguale a D per e=a+0; d’altra 
parte, se si potesse assegnare una grandezza 4; tale, che nel segmento a+0 @+% 
la f(&) non fosse mai eguale a D, essa sarebbe > 0< di D nel. medesimo, la qual 
cosa è pure contraria all’ipotesi. 
Per vedere con tutta chiarezza come si comporti la f(x) nel punto a+0 giova 
distinguere due casi: si può assegnare una quantità 4 tale, che nel tratto ale an 
(<%), quale si sia e, la retta y=D abbia a comune un numero limitato di elementi 
(punti o tratticelli) con la f(x), oppure ciò non ha luogo. Il numero degli elementi 
comuni cresce nel primo caso oltre ogni limite all’annullarsi di e. Sia ora «1, @2, 
&3,... la serie di questi elementi da a+n verso a+0; tra due consecutivi qualsi- 
voglia 4,1 la f(@) giace tutta da una parte della retta y=D. È chiaro poi che 
esiste un numero illimitato di segmenti compresi tra i punti o tratti 21, «2, 43, ..., 
nei quali la differenza f(x) —D è positiva ed un numero pure illimitato nel quale 
è negativa. 
La f(x) ammette nell’intervallo %%;1, quando nel medesimo sia f(x) —D>0, 
un limite inferiore eguale a D che raggiunge soltanto ai suoi estremi, ed un limite 
superiore À; che viene conseguito almeno una volta. Se poi &,&,+1, &@y+1,... è la 
serie successiva dei tratti, nei quali f(x) —DD>0, è manifesto che, tirate le paral- 
lele y=o(a+0)=e, e essendo qualsivoglia, dalla successione di grandezze A,, Ay, .. 
si potrà torre un’altra che non eccede i limiti @(@+0)=. Analoghe considerazioni 
si ponno fare rispetto ai rami della f(x) sottoposti alla retta y=D; valga ad esem- 
3 1 
pio la funzione sen— per sol), 
Poniamo ora che la f(x) abbia a comune con la retta y=D un numero illimi- 
tato di elementi (punti o tratticelli) nel segmento a+ a+ (e<%). Tirate le rette 
/ 
y=D=o(e<gla+0)—D, <D_s 70). esisterà un numero illimitato di 
