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isolato nel punto +0, si dirà che la /(#) va all’infinito come la fi(©), 
quando il rapporto 
non tende nè a zero nè all’infinito all’annullarsi di «x. 
Questo quoto esiste soltanto per quei valori della 4% pei quali il simbolo f() 
1 1 
NOC: î 1 DE n ra a 
ha significato. La funzione e ® @(2) + —- @1() diviene infinita come e”, (4) 
DGlà 
ed &;(x) essendo due funzioni finite, la prima delle quali non va a zero con . 
Ora, è degno di nota che, data una funzione f(x) avente un infinito isolato 
per x=+0, esiste sempre un numero illimitato di funzioni /1(#) dotate della pro- 
prietà indicata. 
Infatti, supposto in prima che l'infinito della f() non sia di prima specie nè negativo, 
Sieno @1, &2, Q3, .». (€ =% llme,= d le ascisse di una serie di punti nel segmento 
n=% 
+0. Si dicano A, e B, il limite superiore ed inferiore rispettivamente della /(4) nel 
tratto &,@,.1, quando essa esista almeno in un punto del medesimo, e si considerino 
le due serie di grandezze 
TATO TATIRA AVIO DONONO 
Il limite superiore A dei valori A,,, A.,,..., che esiste soltanto quando il sim- 
bolo © (2) ha significato, è eguale al limite superiore dei valori della f(x) nel tratto 
+0n. Ed invero, in tale ipotesi la f(x) non va all'infinito nel verso positivo dell’asse Y. 
D'altra parte, il suo limite superiore tra +0 ed 4 non è maggiore di A; perchè, 
se ciò fosse, si potrebbe assegnare un intervallo &,&s+1 nel quale il limite superiore 
A; sarebbe più grande di A, la qual cosa non può aver luogo; in pari modo si dimo- 
stra che @(2) non è minore di A. 
Il limite inferiore B delle quantità B,,,B,,, B,,;.--, che esiste soltanto quando 
il simbolo (7) ha significato, è pure il limite inferiore della /() nel segmento +0. 
— Ciò posto, il termine generale di una almeno delle due serie precedenti dovrà 
andare quindi all’infinito insieme al suo indice. Poniamo, per fissare le idee, che À,, 
cresca con s oltre ogni limite, nulla asserendo circa al modo di comportarsi di B,, all'an- 
nullarsi di =. Nell'intervallo &,,&,,_, (t=1, 2, 3, ...) esiste un numero limitato od 
illimitato di punti P tali, che il limite superiore dei valori della f(x) in una parte 
comunque piccola di &,,«,,, contenente almeno un punto P sia A,,. Detto a, uno 
di questi elementi determinato col metodo delle successive divisioni in guisa, che a 
destra del medesimo non possa assegnarsi nell’intervallo «,,&,,., un punto del si- 
stema P, si potrà fissare una successione di numeri t, ta, ... tali, che si abbia 
Ax, 3 Ap, > A,., > DSDONO 
EA 
