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essendo in pari tempo ciascun termine A,, avente un indice inferiore ad Vir © Magz 
giore di Ti, (qg=1, 2, 3, ...) più piccolo di À,, L Costruisco ora una funzione: con- 
qr 
tinua f(x) sempre crescente nell'intervallo Gr, Gp 
di a 
Ar = (C ): A, =h (Ca; ): f(@) < fi (2) (Er SL }E 
‘q ‘q {qr1 {gr ‘q Iqr1 
L’asserzione è quindi dimostrata. 
(AG=1523%-3) NeNtaleWcehefsia 
È chiaro poi che, se il simbolo + (4-0) ha significato il rapporto 10 oscilloà 
1 (4 
tra lo zero e l’unità positiva all’annullarsi di x. Se poi la retta limite inferiore an- 
dasse all’ infinito per y=+0, esso rapporto non eccederebbe all’indefinito diminuire 
di 2 dei valori c e d tali, che sia 
= 020 
Se l’infinito della f(x) non fosse di prima specie nè positivo, basterebbe applicare 
il ragionamento che precede alla funzione — (2). 
2. Supponiamo ora che l'infinito della /(x) sia di prima specie. In tale ipotesi, 
ribalto la parte di piano sottoposta all'asse X intorno al medesimo come a cerniera 
sino a che combacci con la parte superiore. In questo modo ottengo una nuova funzione 
fu(7); costruisco quindi la f; (2) col metodo del paragrafo precedente. Il quoto Doe) 
1 Ù 
oscilla manifestamente all’annullarsi di x tra le quantità c e d tali, che 
ol ISO, 
oppure 
0='cei, de=—1 
2. Sugli infiniti isolati ed integrabili. 
1. Dimostrato che, data una funzione f (x) dotata di un infinito isolato per e=-+0, 
sì può assegnare un numero arbitrario di funzioni (0) continue sempre crescenti e 
tali, che il quoto DOO, (2) oseilli all’annullarsi della variabile x tra le gran- 
1\L 
dezze M ed N (M> N), una delle quali almeno è diversa da zero, studiamo il modo 
di comportarsi dell’integrale 
c@= ff@mar (a>0) 
all’indefinito diminuire di e. 
Essendo la ©(z) continua nel segmento +07, è chiaro che per e=+0 sì po- 
tranno offrire tutte le singolarità di cui una tale fanzione è capace nelle estreme vici- 
nanze dei valori limiti della variabile. Ma, senza impegnarci nello studio dei casi 
nei quali si offra una singolarità anzi che un’altra, cerchiamo di determinare, per 
quanto è possibile, delle condizioni affinchè l’integrale precedente converga. 
A tal uopo vediamo di dedurre possibilmente le condizioni di integrabilità della 
f (a) da quelle della funzione più semplice fi (x). 
