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Pertanto, è facile vedere che, se la 9;(x) oscilla per e==+0 tra due quantità 
A e B(A> B) dello stesso segno, la condizione necessaria e sufficiente affinchè la 
f(®) sia integrabile è che sia tale la f1(x). Infatti, potendosi fare in questa ipotesi 
#f(2) > cfi1(x) (€ > 0), ne consegue la necessità che sia soddisfatta la condizione 
accennata; che poi essa sia sufficiente risulta manifesto osservando, che il convergere 
dell’integrale //1(x)dx per :=-+0 implica la convergenza dell’altro D //1(2) de, 
essendo D> 0; (@), fatta astrazione dal segno. 
2. Se fosse A> 0 e B<0, oppure A > 0:e B=0, o anche A=0eB<0, 
l'integrale f(x) dx convergerebbe insieme all'altro f/1(2) dv per e=+0. È però 
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degno di nota che in questi casi l'integrale //1(x)dx può divergere mentre l’altro 
c 
; È 1 Il 
converge, ciò avrebbe luogo per esempio se fosse f (2) = ed = sen mn 
poichè si ha 
1 Il 1 1 
D,{ ac cos — )= cos — +—sen—. 
% XL 6) XL 
Se la funzione /1(2) continua nel segmento +0% ha un infinito di quarta specie 
per 2x=+-0 non integrabile, esiste un numero arbitrario di funzioni che vanno all’in- 
finito come la f(x) e sono integrabili. Ed invero, determinata nel tratto +0 una 
successione di tratticelli isolati a1, @, 03,... e tali, che sia 
lim 2” ff1 (0) de, 
npe=cd Il Si 
M essendo una quantità finita, si costruisca una funzione nulla in un punto qual- 
sivoglia non appartenente ai segmenti @,, 4», 43, ... e che ammette l’unità per limite 
superiore in ciascuno dei medesimi, e si otterrà in tal guisa una funzione 6, (2) 
che rende integrabile il prodotto f(x)==0(x)f1(x) a destra dell’ origine. 
Rispetto alle ricerche contenute in questo capitolo Riemann osserva (*): 
< Hat aber die Function f(x) unendlich viele Maxima und 
Minima, so laàsst'sich uber die Ordnung ihres Unendlichwerdens 
nichts bestimmen. In der That nehmen wir an, die Function sei 
ihrem absoluten Werthe nach, vovon die Ordnung des Unendlich- 
werdens allein abhangt, gegeben, so wird man immer durch 
gecignete Bestimmung des Zeichens bewirken kònnen, dass das 
Integral /f(x)dx bei unendlichem Abnehmen der unteren Grenze 
convergirt ». 
3. Una distinzione relativa agli infiniti integrabili di prima specie. 
l. Torna utile una distinzione tra le funzioni f(x) dotate di 
un infinito integrabile di prima specie: esse sono integrabili 
(1) Vedi p. 230. 
