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anche prese con lo stesso segno ('), oppure ciò non ha luogo. 
Indicheremo con f(x) la funzione + V (©) È chiaro che, se l'infinito della 
funzione ovunque integrabile /(x) è di specie superiore alla prima, la /11() è sem- 
pre integrabile. 
L’integrale /f(2)o(x)dx converge per e=+0, se ciò ha luogo 
E 
dell’ altro Sfu(@)dx, 0() essendo una funzione finita nel tratto +0vy. 
Però, se il simbolo Sf ©) de non avesse significato, potrebbe 
aver luogo altrettanto dell’altro S{[() 0 (2) da. 
A chiarire quanto si è asserito valgano gli esempî seguenti : sia Q1, Aa, dg, 
( lim a,==0\ una serie di punti dell’intervallo —0%, ela f(x) non sia mai negativa 
n= 00 
nei tratti 1@2, &3%, 5%; ..., nè positiva negli altri. Di più sia 
KIA 1 X9Is 1 
f(e)dae= lc f(@) da = O (G= 11% Bros 
a 
A9s KIs+1 
: : Il i 
In tale ipotesi, rammentando che le due serie £» _, SY» — divergono, mentre 
1 2n—=1 1 2n 
__\a2_1l 
l’altra Xn O converge, la f(x) ha un infinito integrabile di prima specie nel 
1 Î) 
punto *=+0 e la f(x) uno non integrabile. Se si indica poi con @(x) una fun- 
zione finita che esiste in una serie continua del tratto 04 ed assume il valore +1 
nel segmento «&35@3;-1 (sS==1, 2,...) ed il valore —1 nell’altro @3;+-1@8s ($=1,2,...), 
il simbolo Sf f(x) (x) dx non rappresenta veruna grandezza. La stessa cosa avrebbe 
> 
luogo, se la w(x) fosse eguale a nell'intervallo &2;-12+a (S=1,2,...) € 
log(2s+1) 
del resto nulla, perchè la serie Sx È è divergente. 
1 (2n+1)log (2n+1) 
2. Torna conveniente per le ricerche successive rammentare il teorema (°): 
Se o(a) e W(x) sono due funzioni integrabili nel segmento ab, 
ciascuna delle quali va all’ infinito in un numero limitato di punti, 
gli infiniti dell’una essendo diversi da quelli dell’altra, sarà: 
bh 
CI a \ CO 
a LA a (e) {4A a 
E f (e (#1 16) da= 0a | Y (a)da— OTO ETC) 18) da. 
(!) Vedi la mia Memoria: Sulle serie 2 An Xn, inserita negli Annali di Matematica di Brio- 
schi e Cremona, tom. VII p. 263 e segte. 
(2) Vedi la stessa Memoria, capitolo 5. 
