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Ciò posto, si vede facilmente che la classe T ammette la serie di Fourier. 
Ed invero, la differenza 
Fo+ 2) L= (0. 
è una funzione ovunque continua e tale, che, tolto un gruppo di punti nel segmento 
027 ed i loro congrui (mod. 27), il quoto 
p(o +a)—2u(0)+u(x— 2) 
i a 
oscilla per ogni valor particolare della «x all’annullarsi di « tra due quantità P., 
OMO (RE=103)y essendo 
Oi} 
f OLIO 
e 
c 
| PD, dI= 
ove c e d sono due grandezze arbitrarie, e per ogni valor particolare di + si ha 
im (@TAIUM +e nA _g 
0 (hd 
O 
Di conseguenza: 
u(e)=F (e +27) —F(o) = 0x+ 0° 
e togliendo dalla espressione F(x) un binomio della forma Late dc si potrà ren- 
derla periodica secondo 27. 
Ciò posto, se facciamo 
27 d+27 
1 v., ì n° E 
ser (1O-te-a)e. Na (FO—LE=3 )eosnli) de, 
a o 
la serie 
a yY+r Al +Ar +Ag+. 
n 
integrata due volte termine a termine, produrrà la funzione 
F (2) — de-A=F (2). 
Se ora sostituiamo alla funzione F(x) la Fi (2), avvertiremo di leggieri che la 
serie a' è una serie di Fourier relativa alla classe data T. 
i 2, Quando sieno soddisfatte le condizioni dette al principio di questo capitolo, si 
ponno costruire tante serie di Fourier relative alla classe T, quante si vogliono. Ad 
onta di ciò noi possiamo far parola di una unica serie di Fourier, che è la serie x; 
e da ora in poi per serie di Fourier relativa ad una classe T, che soddisfa alle con- 
dizioni dette al principio di questo capitolo, intenderemo quella testè definita. 
Infatti, diciamo 
a! Si + A+ Ag + A+ ; 
x_ 
la serie analoga alla precedente e relativa alla funzione F(7) + ca + c'. La differenza 
(Y_ y) + (ALA) + (Ag TA) +... 
è una serie che integrata due volte dà origine ad una funzione 9(x) di cui la de- 
rivata seconda appartiene alla classe zero, mentre il quoto 
0(r+2)—20(r)+0(e—-a2) 
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