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esprimibilità della classe data per serie della forma 
Zn (a,sen no + d, cos na), 
dovrà esistere una funzione F (0) ovunque, continua la cui derivata seconda è la 
classe T, e tale, che sia 
Rao Fa+—a — 2F(a)+F(e— a) 
a=0) x 
per ogni valor particolare della x; in questa ipotesi gli infiniti non integrabili della 
classe T dovranno soddisfare alle condizioni indicate nel paragrafo 2 del capitolo 4 del 
numero precedente, mentre il primo integrale della classe T è ovunque integrabile. 
Ciò posto, noi costruiremo la unica serie di Fourier relativa alla classe T, che 
esiste nelle fatte ipotesi, e se questa sarà atta a rappresentarla, la classe data sarà 
esprimibile per serie trigonometrica, in caso contrario, ciò non ha luogo. 
Affinchè questa serie rappresenti la classe T è necessario, ma non sufficiente, 
che sia 
=0 
2"d+27 
lim f(t)cos n (ta) di= 0 
n=% n 
per ciascun punto di un tratto scelto in una parte qualsivoglia dell’ intervallo a a+27, 
oppure, ciò che torna lo stesso, dovrà essere 
a+27 a+27 
lim Sro cos ntdt = lim J f(t)senntdt=0, 
nNn==2% 
(4) 
Vediamo quindi fo, avviene che questa condizione sia soddisfatta. 
a+27 
. Studî sull’ integrale Sr f (6) cos n (tx) dt per n crescente al di là di ogni limite. 
a 
1. Essendo f(t) una funzione finita ed integrabile del segmento 
be, sarà: 
\ Cl ni C 
lim J f (t) cos ntdit = lim J f(t) senntdt=0. 
ASA) b 
3 ha 
ed NC eb 
J rl t) cosntdt== J (b4+t) cosn(b+t)dt, f Jil f(b+t)sen(b+t)dt, 
o “5 
e poichè 
5 
cb 0) 
J f(b+t)cosn(0+t) di= cosnb f © (0) pesta cena 90 t)senntdt, 
0 ‘0 
eb La d 
Sre+ senn(0+i) di=sennd f (t)cosntdt+ cosnb f e)sennede, 
0 IO ‘0 
= PO Zvaì(Ì 
