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basta far vedere che 
YU __@ 
lim J (6) cos nidi=lim f v(t)senntdi=0 . 
nz 90 O) 0 
Sia Gi, Ga, G3,... una serie di gruppi di punti del segmento 0d tali, che la di- 
stanza di due punti successivi qualsivoglia tenda a zero mentre 1’ indice del gruppo 
va all’ infinito. La (0) è integrabile e finita, si potrà quindi scegliere l’indice del 
gruppo per modo, che per esso, diciamolo st +t(t=>0), sia piccolissima la somma 
degli spazî d;, da, 03, .... , in ciascuno dei quali la oscillazione massima della q (t) 
non è inferiore alla quantità arbitraria o. Indico poi con a1, 4», @3,... gli altri in- 
tervalli appartenenti al segmento 0d. 
Se /- è il limite inferiore dei valori assunti dalla @(t) nel tratto a,, e se in 
esso g(0)=l,+t,, sarà: 
d i 
o (6) cosntdt= rl, (i) + Xr |r,cosntdt+ Ss | (0) cos ntdt, 
(47) 
0 f (4,) (9) 
°d 
cos ni\(®) 
o (t)senntdt = Xr ‘( +—X W&W r,sennitdt+ Ss | g(t) sen nidt. 
) 
< 
0 (a) , 
Gli integrali 
> f tr sen nidi, x fc, cosntd, Ds Jo()sennidi, — Sf eWeosnta 
(4,) (4,) (0;) (0,) 
sono per le ipotesi fatte di quella piccolezza che si vuole; l’asserto è quindi 
dimostrato. È 
Riemann dimostra questa proposizione con metodo diverso dal precedente ('). 
2. Sia ora G4, Ga, G3,.... una serie di gruppi del segmento a a+27, e facciamo 
l'indice del gruppo tale, diciamolo s1+-£(£ > 0), che sia di quella piccolezza che si 
vuole la somma degli spazî @,, 42, 43, ... in ciascuno dei quali la f(x) non è finita, 
e chiamiamo ei, 03, €3, ... gli altri intervalli. Possiamo anche supporre che il gruppo 
Gi (s=1,2,....) sia scelto per modo, che la f(t) sia finita agli estremi del segmento 
(PITT i 
Ciò posto, l'integrale 
Ir ft (0) cos n (fl e) dt 
(e,) 
x ° LI x . . . 1 . . 
sarà in virtù del teorema precedente infinitesimo con Tai quale si sia x. 
(1) Vedi Riemann, p. 239 e segti. 
