— 642 — 
7 1 : CE 3 
si annulla con ge mentre la stessa cosa non può asserirsi dell’altro 
0) 
J f(t) cosn (6 — x) dé. 
0 
LA È E - 1 
Quale esempio di un integrale di questa forma che non si annulla con— valga 
il seguente, che non mi sembra meno generale di quello di Riemann e che in pari 
tempo permette forse di veder meglio nella essenza della cosa ('). i 
Sia 
Ul Ur + UU +... (uD>0,8$=1,2,8,...) 
una serie convergente, mentre l’altra 
U + Ug + Ur + Uf at 
diverge, ed A1, A», A3, ... una successione di quantità positive tali, che si abbia 
AnZ<A9 < A3<... (lim ASN—IcoN 
n= 
Ora, poichè la serie Xrw, diverge, si potrà porre: 
ti RE UD) ere È3 
Zr u,>A1, Sr u., > Àa, DVI 00 6 
1 h+l +1 
Scelta dalla successione di tratticelli 212, 4243, ... (A1>% >>... lim a,=+0) 
n=% 
un’altra senza limite 2,41, @,241, @,4y+1, +» nel modo che indicherò tra breve, 
costruisco una funzione f(t) integrabile nel tratto 0, e dotata di un infinito isolato nel 
punto +0 nella guisa seguente. Fatta astrazione dei tratticelli asa+1, 4,49+1, 4061: +» 
sia essa finita nel segmento 0 @;. 
Indico con ci, 02, 03, ... una serie di quantità le quali decrescono sempre ed in- 
definitamente e do ad n un valore n} sì grande, che, facendo variare la quantità 
nel segmento «1 scelto ad arbitrio, la funzione sen nt si annulli almeno ta+1 
volte nel medesimo, e si abbia 
xi 
f (6) sen (ni + si) tdt < 01 (1 20, << 21) 
Pa 
Dico 81, 62, 63: Beta (61 > fe > PB >...) le ascisse di :,+1 punti successivi posti 
nel tratto &5x,+1 e nei quali sen mt si annulla. Ciò posto, la /(t) sia costante nei 
Uy U3 
Pifa? — Fat” 
Nei punti f1, fa, P3,... la /(t) potrà esistere e anche no, e nei tratticelli di &%5+1, 
nei quali per avventura non fosse definita, sia essa nulla. 
n 
2n1 
intero nel medesimo, facciamo quindi n eguale ad n, in guisa, che nel tratto ajz,.i 
tratti f,—0 fo+0, for—-0 B3+0,..., erispettivamente eguale ad 
e scegliamo un intervallo @,&,-1 sito per 
Consideriamo ora il segmento 0 
(*) Vedi Riemann, p. 246 e segtì 
