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Sui Complessi e sulle Congruenze di 2° grado. 
Memoria del dott. ETTORE CAPORALI 
approvata per la stampa negli Atti dell’Accademia 
nella seduta del 2 giugno 1878. 
L'oggetto di questo lavoro è lo studio sistematico della rappresentazione geo- 
metrica di un complesso di rette di 2° grado sui punti dello spazio ordinario. Le 
formole della più semplice corrispondenza univoca fra le rette di un complesso di 
di 2° grado e i punti dello spazio, sono dovute a Klein e furono pubblicate per la 
prima volta da Néther alla fine di una breve Nota Zur Theorie der algebraischen 
Functionen mehrerer complexer Variabèln (!). Ma da allora in poi, per quanto so, 
nessuno ha fatto soggetto di studio questa corrispondenza, la quale può essere uti- 
lizzata anche per la ricerca delle proprietà del complesso. Soltanto un caso speciale, 
quello del complesso tetraedrale, fu per la sua importanza più volte considerato (°). 
In questo lavoro la rappresentazione viene dedotta sinteticamente; ed il punto di 
partenza è la rappresentazione delle rette di una congruenza di 2° grado sui punti 
di un piano, la quale benchè possa facilmente essere dedotta da cose note, abbiamo 
voluto trattare con qualche estensione. 
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Congruenze di 2° grade. Loro rappresentazione piana. 
1. Una congruenza di 2° grado è il sistema ® delle rette comuni ad un com- 
plesso lineare L e ad un complesso di 2° grado S. Per un punto qualunque dello 
spazio passano due rette della congruenza, e due ve ne sono in un piano qualunque. 
Una congruenza di 2° grado contiene però, com’è noto, 16 fasci di rette, vale a dire 
possiede 16 punti singolari P (centri dei fasci) e 16 piani singolari II (piani dei 
fasci). In ognipiano II vi sono 6 punti P; cioè, fra le rette della congruenza passante 
per un punto singolare, ve ne sono cinque che contengono un altro punto singolare: 
isei punti singolari situati in uno stesso piano sono sopra una conica. Correlativamente, 
per ogni punto P passano sei piani II, i quali toccano un cono di 2° grado. Un 
piano II è incontrato dagli altri quindici, secondo le quindici rette che congiungono 
due a due i 6 punti P situati su quel piano. 
(!) Nachrichten di Gottinga, 1869. 
(2) Reye, Die Geometrie der Lage TI, 1868. — Weiler, Eine Abbildung des tetraedralen Complexes 
auf den Punktraum. 
