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2. Un complesso lineare qualunque dello spazio sega la congruenza ® secondo 
una superficie gobba © del 4° ordine (la superficie comune a quel complesso e ai 
complessi L ed S): le superficie © debbono considerarsi come le forme fondamentali 
ad una dimensione, contenute nella congruenza. Queste superficie sono anche le in- 
tersezioni del complesso S colle congruenze lineari contenute nel complesso L; perciò 
esse formano un sistema quadruplamente infinito di superficie, tale, 
che quattro rette arbitrarie di ® ne determinano una. Due super- 
ficie © hanno in comune quattro rette (le rette comuni ai complessi L 
ed S e a due altri complessi lineari) le quali appartengono ad infinite 
altre superficie © (*). À 
3. Un complesso. lineare qualunque dello spazio, contiene una retta di ciascuno 
dei 16 fasci appartenenti alla congruenza ®: perciò le superficie ®-passano per 
i punti singolari di ® e toccano i suoi piani singolari. Una di queste 
superficie sega un piano II secondo una retta passante pel corrispondente punto P 
e secondo una curva del 3° ordine passante per gli altri 5 punti singolari. 
4. Le generatrici di una superficie © ammettono due trasversali comuni, le quali, 
se la superficie si consideri come luogo di punti, sono doppie per la superficie me- 
desima: queste due rette sono le direttrici della congruenza lineare (vedi n. 2) 
determinata dalla superficie. Si può assumere ad arbitrio una direttrice: l’altra sarà 
la retta reciproca della prima rispetto al complesso L che contiene la congruenza 
di 2° grado. 4 
5. Fra le superficie © ve n’è un numero doppiamente infinito che si spezzano 
in un piano singolare II e in una superficie gobba del 3° ordine T. Infatti per ot- 
tener ciò basta assumere per una direttrice di © una retta qualunque passante pel 
punto singolare P corrispondente a quel piano; l’altra direttrice dovrà essere nel 
piano II; il fascio di rette della congruenza di 2° grado contenuto in II si stac- 
cherà dalla superficie @ la quale diverrà una superficie gobba T del 3° ordine la cui 
direttrice doppia passa pel punto P mentre la direttrice semplice è situata nel piano 
corrispendente II. Riassumendo, una congruenza di 2° grado contiene 16 si- 
stemi doppiamente infiniti di superficie gobbe T del 8° ordine: 
ciascun sistema è coordinato ad uno dei piani singolari della con- 
geruenza. Le generatrici di una superficie T incontrano il piano 
singolare ad essa coordinato in punti situati sopra una retta (di- 
rettrice semplice di T). 
G. La congruenza ® può essere immediatamente rappresentata sopra un piano, 
qualora si scelga come rappresentativo uno dei piani singolari della congruenza (°). 
Sia I questo piano, P il punto singolare corrispondente, @1, @2, @3; @,, @3 gli altri 
cinque punti singolari situati in II e c la conica che essi determinano. Ad una retta R 
(') Le due superficie, considerate ciascuna come luogo di punti, hanno inoltre in comune una 
curva gobba del 12° ordine. 
(2) Per una rappresentazione delle rette di una congruenza di 2° grado sui punti di una su- 
perficie del 8° ordine, ovvero sui punti di una superficie del 4° ordine dotata d’una conica doppia, 
veggasi Cremona, Sulla corrispondenza fra la teoria dei sistemi di rette e la teoria delle superficie. 
Atti della R. Accad. dei Lincei, vol. III serie 22. 
