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passante per essa sia un piano singolare. Un complesso in generale non possiede 
alcuna retta doppia. Le coordinate di una retta doppia debbono soddisfare le eguaglianze 
MII SAS TORI SNO IS 
Pas dp Psi dpr Pie dPpsi 
RI LE 
Pra dpag Pa dpr Psi dpi 
dove S=0 è l’equazione del complesso ('). 
Così, in particolare, affinchè pel complesso (2) sia doppia la retta. 
; P23 = 
deve aversi 
0,9 = ag = di == bia = dg = 0 
vale a dire debbono mancare nell’equazione del complesso tutti i termini contenenti 
la paz eccetto quello in cui entra insieme alla sua coniugata px: quest’ultimo termine 
si può allora fare sparire per mezzo della identità (1). 
14. Se nella (2) fosse soltanto 
bai =0, 
la retta pag == 0 sarebbe una retta ordinaria del complesso S. 
15. Ciò posto una congruenza di 2° grado ® sia determinata dal complesso S 
e da un complesso lineare L che abbia l’equazione 
(3) L = da Par + da Pai + dg Pia +1 Par + Na pa + Na pa = 0. 
Vogliamo in primo luogo che il piano 
dC, = (0) 
(che chiameremo IT) sia un piano singolare della congruenza e che il vertice opposto 
del tetraedro fondamentale, sia un punto singolare della congruenza medesima. 
Se 
Uy Ly + U9 Lg ++ U3g dg = 0 
è l’equazione di una retta qualunque del piano II, le coordinate di questa retta, 
saranno 
‘Pa3 =U1, P31 =U,, Pi =U3 
Pu=0, pa=0, pa=0. 
Sostituendo questi valori nelle equazioni (2) e (3) se ne hanno le. equazioni 
(4) da Un = da Ug, + 3 Ug == 0 
(5) i dai vu + Da U?9 on D33 Ug + 2093 Ug, Ug + 2b31 Uz Uq + 219 Uq Un = 0 
le quali rappresentano le rette di ciascuno dei complessi L ed S situate nel piano II. 
Se questo piano deve essere singolare per la congruenza, bisogna che la conica rap- 
presentata dalla (5) si decomponga in due fasci, uno dei quali sia quello rappresentato 
dalla (4). E facile vedere che le condizioni perchè ciò avvenga sono 
b33 X°a+ ban A°3 + 2023 da dg = 0 
(6) bi1 X°3 + bg3A%1 + 2ba1 Ag day, = 0 
bag 3 te dba 22, ata 2019 di da —10E 
(1) L. e. n. 300. 
