ed allora le formole 
(12) P23:P31: Pio: Pan: Pan: Pg 
= q' Rx, 03:a" Rag c1:a" Ra 0g: Car: Cos: 003 
corrispondono a quella rappresentazione delle rette della congruenza ® sui punti del 
piano II che abbiamo effettuato sinteticamente al $ 2. 
20. La superficie rigata comune alla congruenza @ e al complesso lineare 
ay Prg + ko P31 + k3 pio + ka pu + ka pa + 3 pa = 0 
è rappresentata sul piano II da una curva del 3° ordine la cui equazione si ottiene 
sostituendo nell’equazione precedente i valori (12): essa è dunque 
R (k10' 2203 + kr a" 23.x1+ kg a" x 0) 
— C (ke, + ka va + k303) =0. 
Risulta da ciò che i cinque punti fondamentali della rappresentazione sono i punti 
Lo = X3 (|) == 6 new = V 
e i due punti comuni alle linee 
RI_0R = 
21. Dunque ogni vertice ed ogni faccia del tetraedro fondamentale del complesso S 
è un punto e un piano singolare per la congruenza ®. Abbiamo già veduto che uno 
di tali tetraedri è determinato da un suo vertice e dalla faccia opposta. Siccome preso 
un piano singolare, vi sono 10 punti singolari all’infuori di esso, così ogni piano 
singolare determina 10 di quei tetraedri: perciò essi saranno in tutto i 
Dunque: Una congruenza generale di 2° grado è contenuta in 40 
complessi tetraedrali; o, in altre parole, coi punti e coi piani sin- 
golari della congruenza si possono formare 40 tetraedri, ciascuno 
dei quali è incontrato secondo un rapporto anarmonico costante 
da ogni retta della congruenza. 
8 3. 
Rappresentazione del complesso di 2° grado. Enti lineari 
ed elementi fondamentali dei due spazî. 
22. Proponiamoci di rappresentare un complesso di 2° grado sui punti di uno 
spazio ordinario, in modo che ai piani di questo corrispondano nel complesso con- 
gruenze di 2° grado che diremo ©. Per semplicità di discorso chiameremo primo spazio, 
lo spazio di punti rappresentativo e secondo spazio quello che contiene il complesso. 
Le congruenze % dovranno formare un sistema triplamente infinito come quello dei 
piani che rappresentano : e siccome tre piani s'incontrano in un punto, tre congruenze @ 
qualunque dovranno avere in comune una sola retta che non sia comune a tutte. 
Un piano qualunque del 1° spazio contiene una doppia infinità di rette, due 
qualunque delle quali. s'incontrano in un punto. Perciò una congruenza @ dovrà 
