— 7050 — 
essere Intersecata dalle altre congruenze del sistema, secondo superficie variabili di 
una serie doppiamente infinita e tale che due superficie qualunque abbiano in comune 
una sola retta variabile. 
Riportando la cosa ad un piano rappresentativo di una congruenza 9, avremo 
su di esso le curve del 3° ordine passanti per cinque punti fissi, le quali sono immagini 
delle superficie enti lineari della congruenza: or bene, per quel che s'è detto, biso- 
gnerà staccare una parte fissa comune a tutte quelle curve in modo che le curve 
variabili rimanenti costituiscano una rete omoloidica ('). Il modo più semplice di 
ottenere lo scopo è quello di assumere come rete omoloidica quella delle rette del 
piano rappresentativo: ciascuna di esse insieme alla conica c dei cinque punti fissi, 
costituisce l’immagine dell’intersezione completa della congruenza 9 con un’altra con- 
gruenza qualunque della stessa famiglia. Ora siccome la conica c rappresenta un fascio 
di rette se ne conclude che: le congruenze di 2° grado o contenute in 
un complesso di 2° grado e che hanno in comune un fascio di rette, 
costituiscono un sistema triplamente infinito e tale che due con- 
gruenze qualunque hanno in comune ulteriormente una retta e 
che tre rette del complesso determinano in generale una ed una 
sola congruenza: perciò queste congruenze si possono far corri- 
spondere al sistema dei piani di uno spazio ordinario. 
Il fascio comune alle congruenze @, lo diremo fascio fondamentale e lo chia- 
meremo F; indicheremo con O il centro e con ® il piano del fascio. 
23. Importa di considerare subito le congruenze di 2° grado contenute nel con- 
plesso ma alle quali non appartiene il fascio fondamentale: costituiscono un sistema 
cinque volte infinito (come i complessi lineari) e corrisponderà loro nel primo spazio 
un sistema lineare cinque volte infinito di superficie che diremo S. 
Siano P e P' due piani del 1° spazio ai quali corrispondano due congruenze @ 
e o e sia la S la superficie corrispondente ad un’altra congruenza ® qualunque: 
le tre congruenze ©, o' e ® hanno in comune tre rette, come puo vedersi facilmente 
per mezzo del piano rappresentativo di g o di g'. Perciò le superficie P, P' ed S, 
hanno in comune tre punti. Dunque: 
Le superficie $S che corrispondono alle congruenze del complesso 
non contenenti il fascio fondamentale, sono superficie del 3° ordine. 
24. È noto che nel complesso di 2° grado sono contenuti dei fasci di rette in 
numero doppiamente infinito i cui centri (punti singolari) hanno per luogo una su- 
‘perficie di Kummer. Il fascio F_ è fra questi e perciò la superficie dei punti singolari 
passa per O e tocca il piano @. In questo piano vi è un numero semplicemente 
infinito di punti singolari, centri di fasci di rette, i quali hanno tutti un raggio 
variabile in comune col fascio F. Uno qualunque di questi fasci non ha in comune 
colle congruenze © nessun raggio al di fuori del fascio fondamentale, perchè il raggio 
che hanno in generale in comune un fascio e una congruenza di 2° grado (in un 
complesso di 2° grado) appartiene in questo caso ad F. Ne segue che ad uno 
(*) Cremona, Sulle trasformazioni razionali nello spazio. Annali di Mat., serie 2% tomo V, 
