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qualunque di quei fasci non corrisponde una linea, ma un punto: e alla serie di quei 
fasci corrisponde una curva la quale sarà fondamentale per il primo spazio. 
Anzi questa curva sarà del 5° ordine, perchè il numero dei suoi punti situati 
in un piano è dato dal numero dei fasci di una congruenza © che hanno un raggio 
in comune col fascio F. i 
Riassumendo: vi è una serie semplicemente infinita di fasci di 
rette del complesso, ciascuno dei quali ha un raggio in comune 
col fascio fondamentale: ad ognuno di questi fasci corrisponde nel 
primo spazio un punto; il luogo di questi punti è una curva gobba 
del 5° ordine: la chiameremo curva Q. 
Un fascio corrispondente ad un punto di Q ha in comune con una congruenza ® 
un raggio: perciò il punto apparterrà alla superficie S corrispondente. Vale a dire: 
le superficie S hanno tutte in comune la curva Q. 
25. Tre congruenze di 2° grado appartenenti ad un complesso di 2° grado hanno 
in comune quattro rette. Applicando questa osservazione a due congruenze ® e ad 
una congruenza g se ne deduce che: due superficie S hanno in comune 
una curva variabile del 4° ordine. Perciò la curva Q è la sola curva fon- 
damentale nel primo spazio. 
26. Ai raggi del fascio fondamentale, perchè appartiene a tutte le congruenze 9, 
corrisponderanno non punti, ma linee ciascuna delle quali non deve incontrare in 
punti non fondamentali le superficie S. D'altra parte considerando un raggio uscente 
da O e situato nel piano @, poichè esso incontra in altri tre punti la superficie dei 
punti singolari, ne segue che è comune a tre di quei fasci (24) ai quali corrispon- 
dono punti della curva Q: perciò la linea corrispondente ad un raggio di F incontra 
in tre punti la curva Q; e poichè non deve incontrare fuori di Q le superficie S, 
si conclude che ai raggi del fascio fondamentale corrispondono nel primo 
spazio le rette trisecanti della curva Q. 
Il luogo di queste trisecanti è evidentemente una superficie del 2° ordine, perchè 
mentre ad una congruenza qualunque ® corrisponde una superficie S del 3° ordine, 
quando la congruenza contiene il fascio F, quella superficie degenera in un piano. 
Dunque al fascio fondamentale corrisponde una superficie T del 
2° ordine che contiene la curva fondamentale Q. 
Una superficie S ha in comune colla superficie T, oltre alla curva Q, una retta 
trisecante di Q. 
27. Alla serie dei punti d’una retta R del primo spazio corrispondono nel se- 
condo spazio le generatrici d’una superficie rigata. Siccome la R incontra una superficie S 
in tre punti, la superficie corrispondente ad R ha tre rette comuni con una con- 
gruenza ®: inoltre questa superficie conterrà due raggi del fascio F_ perchè la retta 
incontra in due punti la quadrica T. Dunque alle rette del primo spazio cor- 
rispondono nel secondo le supeficie gobbe del 3° ordine che contengono 
due raggi del fascio fondamentale: la direttrice doppia d’una di queste super- 
ficie passa per O e la direttrice semplice è situata sopra © (5). 
28. Se la retta R si appoggia in un punto alla curva Q, dalla superficie cor- 
rispondente si stacca il fascio che corrisponde a quel punto. È facile dedurre che: 
