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Se si proietta la curva da un punto qualunque della superficie T, il cono pro- 
iettante del 5° ordine possederà una generatrice doppia e una generatrice. tripla 
(situate su T) e perciò sarà del genere due: quindi la curva Q è del genere due. 
Per la generatrice doppia del cono si possono condurre al cono stesso altri otto piani 
tangenti e per la generatrice tripla se ne possono condurre sei. Ne segue che fra 
le generatrici di T bisecanti per la curva Q, ve ne sono sei che la 
toccano e fra le generatrici trisecanti ve ne sono otto tangenti 
alla curva Q. 
Dalla nozione del genere per relazioni note, segue la proprietà che per un 
punto dello spazio si possono condurre quattro corde alla curva Q. 
32. La proiezione della curva Q fatta da un punto qualunque dello spazio sopra 
un piano qualunque è una curva del 5° ordine con quattro punti doppî. Seguendo 
i metodi ordinarî, vale a dire mediante le formole di Cayley si trova che: 
La sviluppabile osculatrice delle curve Q è del 12° ordine. 
Da un punto qualunque dello spazio si possono condurre 21 piani 
osculatori e 32 piani bitangenti alla curva Q. Da un punto della curva 
si possono condurre 18 piani osculatori e 16 piani bitangenti. 
La curva Q possiede 32 piani stazionarî. 
33. Sia data una corda C della curva Q: qual’ è il luogo delle corde della curva 
che incontrano la retta C? Per un punto di C si possono condurre tre altre corde 
alla curva: dunque la retta C è tripla pel luogo cercato. Un piano passante per € 
incontra ulteriormente il luogo secondo le tre rette che congiungono due a due gli 
altri tre punti d'incontro del piano colla curva: perciò il luogo cercato è una super- 
ficie gobba del 6° ordine. Per un punto di Q si possono condurre due corde ad incon- 
trar C in punti diversi dai suoi due punti d’appoggio: dunque la curva Q è doppia per 
la superficie. Una corda qualunque della curva incontra la superficie ulteriormente in 
due punti per ciascuno dei quali passa una generatrice della superficie. Se ne conclude 
che date due corde di Q, vi sono altre due corde della curva, che si 
appoggiano alle due prime: o in altre parole un quadrilatero storto 
formato con quattro corde della curva Q è determinato in modo 
unico da due lati opposti. Si troverà più innanzi una applicazione di questa proprietà. 
34. I punti della curva Q sono congiunti due a due: diremo che due punti sono 
coniugati quando la retta che li congiunge è una generatrice della quadrica T che 
non incontra ulteriormente la curva. Le coppie di punti coniugati formano una invo- 
luzione semplice la quale ha 6 punti doppî. Vedremo fra poco qualche proprietà delle 
coppie di punti coniugati. 
35. Il punto O è centro di due fasci dirette del complesso, uno dei quali è il 
fascio F; l’altro lo diremo fascio F,. Il piano ® contiene due fasci del complesso uno 
dei quali è F; l’altro Io chiameremo Fs. I fasci F ed Fg avendo ciascuno un raggio in 
comune con F, sono rappresentati nel primo spazio da due punti della curva Q: siano Xj 
e Xo. Questi due punti hanno una grandissima importanza nella rappresentazione. 
Sia f la curva del quart’ ordine luogo dei punti singolari situati sul piano @ (24). 
I fasci F_ ed F, hanno in comune un raggio che è la tangente in O alla curva fi a 
questo raggio corrisponde la trisecante (26) della curva @ passante per Xi. 
