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fra loro sulla curva Q: vedremo più innanzi che essi formano una coppia di punti 
coniugati (34). i 
42. La proprietà che per un punto qualunque del primo spazio passano quattro 
corde della curva fondamentale corrisponde alla proprietà che ogni retta del complesso 
appartiene a quattro fasci di raggi del complesso; il che equivale a dire che la super- 
ficie dei punti singolari è del 4° ordine e della 4* classe. 
43. È noto che si chiamano rette singolari d’un complesso i raggi comuni a due 
fasci del complesso che hanno lo stesso centro, ovvero, che è lo stesso, i raggi comuni a 
«due fasci che sono sullo stesso piano. Una retta singolare è tangente alla superficie 
dei punti singolari: dei quattro fasci ai quali appartiene, due hanno lo stesso cen- 
tro e gli altri sono sullo stesso piano. Nel primo spazio il punto corrispondente ad 
una retta singolare sarà tale che delle quattro corde da esso condotte alla curva Q, 
due saranno in uno stesso piano col punto X, e le altre due in uno stesso piano col punto 
X3. Si può anzi enunciare il teorema che se una delle facce di un quadri- 
spigolo formato da quattro corde della curva Q passa pel punto X,, 
la faccia opposta passa pel punto Xy: teorema che costituisce un’ altra 
interessante proprietà delle coppie di punti coniugati sulla curva fondamentale. 
44. È proprietà conosciuta che le rette singolari di un complesso di 2° grado 
costituiscono la completa intersezione di questo con un altro complesso di 2° grado. 
Perciò un fascio di rette del complesso conterrà due rette singolari, un iperboloide 
ne conterrà quattro, una superficie cubica sei, ecc. 
Questo fatto ci fa conoscere che nel 1° spazio sopra una retta qualunque vi sono 
sei punti corrispondenti a rette singolari, sopra una retta appoggiata alla curva fon- 
damentale ve ne sono quattro, sopra una corda di Q ve ne sono due, ece. 
Dunque la superficie luogo dei punti del primo spazio che 
corrispondono alle rette singolari del 2°, è del 6° ordine e con- 
tiene come doppia la curva fondamentale. 
Fra le rette singolari del complesso vi sono il raggio comune ai fasci F ed Y, 
ed il raggio comune ai fasci F ed Fs: perciò (35) la superficie suddetta 
contiene le due trisecanti della curva Q che passano rispetti- 
vamente pei punti X, e Xp. Queste due rette e la curva fondamentale, costi- 
tuiscono la completa intersezione della superficie colla quadrica T. 
45. Tutte le rette del complesso che incontrano una retta qualunque del secondo 
spazio, costituiscono una particolare congruenza di 2° grado: di queste Gongruenze 
speciali ve n’ è un numero quattro volte infinito (ogni retta dello spazio ne deter- 
mina una). A qual condizione deve soddisfare una superficie S del primo spazio, 
affinchè corrisponda ad una congruenza speciale? 
Fra le rette del complesso che incontrano una retta qualunque R del secondo 
spazio, vi sono tutte quelle situate nel piano che congiunge O ad R le quali invi- 
luppano una conica e vi sono quelle passanti pel punto d’intersezione di KR col piano ©, 
le quali generano un cono del complesso. Perciò il luogo dei punti del primo spazio 
corrispondenti a tutte le rette che incontrano R conterrà una retta passante per X, 
e una retta passante per X». Dunque se fra le rette di una superficie S 
ve n’è una passante per X, e (per conseguenza) una passante per X, 
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