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Sopra i piani ed i punti singolari della superficie di Kummer. 
Memoria del dott. ETTORE CAPORALI 
approvata per la stampa negli Atti dell’Accademia 
nella seduta del 2 giugno 1878. 
Un recente lavoro del prof. Cremona che ha per titolo: Teoremi stercometrici dai 
quali si deducono le proprietà dell’esagrammo di Pascal, mi ha spinto alle ricerche 
che ora presento. In quella Memoria è mostrato come partendo da un sistema di 
15 rette situate tre a tre in 15 piani si giunge ad una figura le cui parti sono per 
così dire connesse insieme per mezzo di un esaedro che è come la base del sistema. 
Si vedrà nel presente lavoro, conîe sì possa giungere a quel medesimo esaedro anche 
partendo da una figura di 10 piani passanti quattro a quattro per 15 punti. Nella 
superficie di Kummer se si separano sei piani singolari passanti per un medesimo 
punto singolare rimangono appunto altri 10 piani singolari disposti nel modo suddetto: 
in ciò sta la ragione del titolo di questo lavoro. 
Anche dalle semplici proprietà stereometriche che saranno esposte più innanzi, 
scaturiscono i teoremi sull’esagrammo di Pascal. Alcuni di questi teoremi sparsi qua 
e là pel lavoro, parranno, credo, nuovi: vorrebbero, però, essere studiati più al mi- 
nuto, cosa che non avrei potuto fare senza allontanarmi dall'oggetto principale. 
1.E noto che una superficie di Kummer possiede 16 punti doppî e 16 piani tan- 
genti doppî, in modo che per ogni punto passano 6 piani (tangenti ad un cono di 
2° grado) e sopra ogni piano giacciono 6 punti (situati in una conica): li diremo 
piani e punti fondamentali. Rammentiamo anche 1° importante proprietà che questo 
sistema è reciproco di se stesso in 6 sistemi polari differenti determinati da sei com- 
plessi lineari in involuzione due a due ('). 
Si indichi col simbolo 0 uno dei piani fondamentali e coi simboli 1, 2, 3, 4, 
5, 6 i sei punti fondamentali situati su di esso: allora si sa che gli altri 15 piani 
fondamentali possono essere rappresentati coi simboli binarî 12, 13, 23, ecc.; e che gli 
altri 10 punti fondamentali si possono rappresentare colle coppie di simboli ternarî. 
123 124 MEG 
(156) (o) (346 DeLo 
Con questa notazione si possono riconoscere agevolmente le relazioni fra i diversi 
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elementi della figura. Per es. per il punto fondamentale (9) passano i piani fonda- 
mentali 12, 13, 23, 45, 46, 56: pel punto 1 passano i piani 0, 12, 13, 14, 15, 16: 
sul piano 12 giacciono i panti 1, 2, (456) (HE (346 O (545) ecc. ecc. 
(') Klein,» Zur Theorie der Liniencomplere des ersten und zweiten Grades. Math. Ann. TT. 
