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dai rimanenti: questo si poteva prevedere rammentando la dualità accennata al n. 1: 
avremo occasione di ritornare su questo argomento. 
15. La dualità suddetta permette di stabilire immediatamente le seguenti pro- 
prietà. Per un punto P passano 6 rette a, situate due a due nei tre 
piani fondamentali, e quattro rette K: per lo stesso punto passano 
18 piani II dei quali 6 contengono una ad una le rette a e gli altri 
12 sono quelli determinati dalle tre rette R e dalle quattro rette K 
passanti pel punto P. Per ogni punto P passano dodici rette di Pa- 
scal situate quattro a quattro sui tre piani fondamentali che de- 
terminano quel punto. 
È importante, por ciò che seguirà, questa separazione delle rette di Pascal in 
tante quaterne quanti sono i piani JI e delle retto K in quaterne coordinate ai 
punti P. 
16. Esaminiamo il modo di comportarsi delle rette K rispetto ad un piano fon- 
damentale, per es. al piano 0. Rammentiamo che una retta K si ottiene congiun- 
gendo un punto fondamentale ad un punto P determinato da tre piani fondamentali 
diversi da quelli che passano pel primo punto. Si abbia ancora presente la divisione 
dei punti P in tre categorie rispetto ad un piano fondamentale (8). Allora si rico- 
noscerà subito come le rette K si dividano in quattro gruppi, come segue: 
1° rette K che contengono un punto fondamentale del piano 0. Il punto P 
che contiene una di tali rette non può essere evidentemente nel piano 0, nè può essere 
uno dei 15 coordinati al piano medesimo (8), perchè i tre piani fondamentali che 
determinano uno di questi punti contengono tutti 6 i punti fondamentali del piano 0. 
‘Le rette K di cui si tratta sono dunque quelle che uniscono i punti fondamentali 
di 0 ai punti P della 3* categoria: siccome per ogni punto fondamentale passano 
60 rette K (12), sè avranno în questo primo gruppo 360 rette KX passanti due a 
due pei 180 punti P della 3° categoria; 
2° rette K che contengono un punto P del piano 0: siccome per ogni punto P 
passano quattro rette K (15), questo gruppo si comporrà di 45x4= 180 rette K; 
3° rette K passanti per uno dei Jò punti P coordinati al piano 0 (della 
2* categoria. Queste rette saranno in numero di 15 x 4 = 60; 
4° rette K passanti per uno dei 180 punti P della 3* categoria: per ognuno 
di questi punti passano quattro rette K delle quali due appartengono al primo dei gruppi 
che stiamo numerando: il gruppo attuale si comporrà quindi di 180 x 2 = 360 rette K 
passanti due a due pei punti P della 3* categoria. 
17. I due ultimi gruppi meritano di essere esaminati attentamente. Le 60 rette K 
del terzo gruppo escono dai 15 punti P coordinati al piano 0: da questi medesimi 
punti escono tre a tre le 45 rette (8) che congiungono due a due i 10 punti fonda- 
mentali situati fuori del piano 0. Ne segue che i tre piani II passanti per una qua- 
lunque delle rette K, sono fra i 60 piani coordinati al piano 0 (7). Dunque i ses- 
santa piani II coordinati ad un piano fondamentale passano tre a 
tre per sessanta retta K: e considerandone le tracce sul piano fondamentale, 
abbiamo che nell’esagrammo le sessanta rette di Pascal passano tre a 
tre per 60 punti. Questi punti (tracce di rette K) sono i punti di Kirkman. 
