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in categorie rispetto al piano 0, risulta naturalmente appoggiandosi a quella dei 
piani II. 
46. Consideriamo un piano C. Esso contiene un punto fondamentale (37) dal 
quale escono tre rette K, ciascuna delle quali contiene un punto P, un punto di 
Kirkman e 6 punti O (18). I tre punti P sono allineati in una retta S la quale 
contiene 6 punti a (41). I tre punti di Kirkman sono le intersezioni delle tre rette K 
con un piano fondamentale e precisamente con quel piano fondamentale che insieme 
al punto fondamentale del piano C determina la retta S e la sua coniugata: perciò 
i tre punti di Kirkman sono allineati in una retta che diremo retta dî Cayley. 
Altri 6 piani fondamentali passano pel punto fondamentale del piano C e l’in- 
contrano secondo le rette che congiungono questo punto ai punti « della retta S: 
le chiameremo rette p. Gli altri nove piani fondamentali passano naturalmente tre 
a tre pei punti P contenuti nel piano C e incontrano le tre rette K precisamente 
nei 18 punti O che esse contengono: le tracce di questi piani sul piano C le chia- 
meremo rette y. 
Ciò posto ecco come si distribuiscono i piani C considerati per rispetto al piano 0: 
1° Un punto fondamentale insieme a ciascuno dei 10 piani fondamentali non 
passanti per esso, determina 10 coppie di rette S le quali sono congiunte al punto 
fondamentale da 20 piani C. Dunque pei 6 punti fondamentali del piano 0 passano 
120 piani C. Siccome le rette K uscenti da questi punti fondamentali contengono 
i 180 punti P della 3* categoria, così quei 120 piani C sono quelli che contengono 
le rette S che incontrano il piano 0 nei 120 punti «: essi incontrano il piano 0 
in rette pu. 
2° I 20 piani C passanti per le 20 rette S che incontrano il piano 0 in punti 
di Steiner hanno per tracce sul piano 0 altrettante rette di Cayley. 
3° i rimanenti 180 piani C incontrano il piano 0 in rette v. 
47. Risultano da ciò le seguenti proprietà: 
Nfel'iielsfa'oiria\mimio cit 6/0) piuniti. di Rirkman sono di'stri- 
buiti tre a tre sopra 20 rette di Cayley, ciascuna delle 
quali contiene inoltre un punto di Steiner. 
I 360 punti 0 si separano in 180 coppie ciascuna delle 
quali è allineata con un punto P: si hanno così 180 rette y 
le quali passano quattro a quattro pei punti P: esse sono 
coniugate due a due. 
48. Per un punto P coordinato al piano 0 passano quattro piani C che deter- 
minano su di esso quattro rette di Cayley: per un punto P_ della 3° categoria, 
passano invece due piani C che determinano due rette u e due piani C che deter. 
minano due rette y. 
Ciò posto la proprietà che i piani C passano quattro a quattro per le rette I, 
fornisce i seguenti enunciati: 
Nell’esagrammo le 20 rette di Cayley concorrono quat- 
tro a quattro in quindici punti (punti di Salmon) i quali 
corrispondono uno ad uno alle rette di Steiner (37). 
