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La trasformazione piana doppia di terzo ordine, primo genere, 
e la sua applicazione alle curve del quarto ordine. 
Memoria del dott. RICCARDO DE PAOLIS 
approvata per la stampa negli Atti dell’ Accademia 
nella seduta del 5 maggio 1878. 
Le proprietà delle tangenti doppie delle curve di quart’ ordine, che dimostro in 
questa prima parte servendomi della trasformazione, quasi tutte sono state trovate 
da Aronhold, Steiner, Hesse, Geiser, Cayley, Salmon, ...., nei loro noti e classici lavori. 
Facendo le formole dirette ed inverse della trasformazione ho ottenuto l’equa- 
zione della ‘curva limite, generale di quarto ordine, sotto una forma che dà separate 
le 28 equazioni delle sue tangenti doppie. 
T risultati che trovo formano il materiale che mi serve per una nuova classe 
di proprietà delle tangenti doppie che tratterò nella seconda parte. 
$S fl. Cubiche che passano per sette punti dati — Formole che danno 
il punto corrispondente in P ad un punto dato în P. 
1. Siano dati in un piano P’, semplice, sette punti 
Pr Pr P3 Pa Ps Pe Pi 
arbitrarî; prendiamo 1 pa 3 come vertici del triangolo fondamentale, in modo che 
le equazioni dei lati 
Pa03 P3Pr PaP? 
siano 
n=0 e=0 @=0; 
prendiamo p, come punto unità, e chiamiamo 
Xi %9 43 L1B»B3 V1Y293 
le coordinate dei rimanenti punti py ps Pr - 
Se poniamo i 
Ud, 3 V= ba == La wv=V 3 
(1) u=aa a vb —f v=YV-N 
Ug = Ki. =1%9 v = fi — Bè VWa=INTIZo 
abbiamo 4 
(2) U + UU, + 3=0 dv + dv + 0 =0 w+ Ve w=0, 
e le equazioni 
U=u,%+UrX,+g 03=0 V=0v01+09 0 +-0303=0 W=w| d-+-Wg Lt W3 130 
rappresentano le rette 
PaP5 PaPe PaPù. 
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