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18. Trasformiamo il piano P' univocamente in se stesso con una trasforma- 
zione quadratica. I due triangoli fondamentali siano p1 pa p3, Pi Pa 93; ad una retta 
R', considerata appartenente al piano del primo triangolo, corrisponderà una conica C" 
circoscritta al triangolo p', p'a p3, ad una retta A, considerata appartenente al piano 
del secondo triangolo, corrisponderà una conica €° eircoscritta al triangolo Di Pa P3; 
un punto p' avrà per corrispondente un punto p" se si considera appartenente al 
primo piano, ed un altro punto se si considera appartenente al secondo. 
I vertici pi pa 73 abbiano per corrispondenti i lati pa pî3 P3Pi Pupa, ed i ver- 
tici p'1p2p'3 corrispondano ai lati p.p3 P3P1 Pupa. Se conduciamo una retta R' 
per pi la conica C' si spezza nel lato p', p'3 ed in una retta A” che passa per pi, 
quindi abbiamo tre fasci di rette A' coi centri in pi pa p3, ai quali corrispondono 
tre fasci projettivi di rette A” coi centri in pp" p'3. Preso un punto p' se tiriamo 
le rette p'(p1 pa ps) le corrispondenti nei fasci projettivi sono p"“(p'1 p'a p'3), e si ta- 
gliano nel punto p" corrispondente a p', quindi fissati i due triangoli fondamentali 
e la projettività, per es. trai fasci p1p'1 papa, viene fissata quella trai fasci p3 p'3 
e la corrispondenza quadratica che trasforma P' in se stesso. 
19. I fasci projettivi p1p'1 papa P3 93 generano tre coniche €; € 03 che pas- 
sano per piP'i PaP'a P3P'3 ed hanno comuni quattro punti p; ps Ps Pi; per uno di 
questi punti passano tre raggi dei fasci p, pr p3 e i tre corrispondenti dei fasci 
Pi pa P3, quindi i punti p, Ps Pe Pi Sono punti uniti del piano P’, cioè punti che 
corrispondono a se stessi. 
20. Abbiamo già detto come si fa a trovare il punto corrispondente ad un 
punto dato, ora vediamo come si trova la conica corrispondente ad una retta A". 
Prendiamo sulla R” un punto p" e tiriamo le rette p" (p"1 pa p3), i raggi corrispon- 
denti p' (P1 pa p3) insieme alle rette paz P3P1 P1Pa formano le tre coniche €’ cor- 
rispondenti e tagliano la R” in tre coppie di punti che determinano due punteggiate 
projettive sovrapposte, i due punti uniti sono le intersezioni della A" colla conica 
corrispondente €, quindi €’ è determinata dai due punti uniti e da p1p2p3. Ana- 
logamente si può costruire la conica €” corrispondente ad una retta A'. 
21. Se prendiamo ad arbitrio uno dei triangoli fondamentali, per es. pi pa Ps; 
e ì quattro punti uniti p, 5 Pe Py, la trasformazione è individuata. Basta far vedere 
che viene determinato il triangolo p'1 p'a p'3 e la projettività tra i fasci pipi papa Psp'3. 
Costruiamo le coniche €, C, € che sono determinate dai punti 
PiPaPs5PoP7 PoPaPs5PoP7  P3PaPsPoPa - i 
I raggi pi P2 P1p3 tagliano la €, in pi ed in altri due punti cd, , analogamente 
diremo asc, e dz az le intersezioni ulteriori di pa p3 Pa P1 con Cl e di p3yPi Pa Pz 
con C3. Ora la retta p'1p'3 considerata come appartenente al fascio p' ha per cor- 
rispondente la retta p1pa, e siccome la taglia sulla C,, passa per ci; considerata 
come raggio del fascio p'3 ha per corrispondente la retta p3p,, e siccome la taglia 
sulla €3, passa per ag. Congiungendo azc, abbiamo la retta p'1p'3, analogamente 
troviamo le p'3. pa, papi, e vediamo che i punti cercati sono i vertici del triangolo 
A3C4 di do 9 bg . 
Così abbiamo determinato non solamente l’altro triangolo fondamentale, ma anche la 
