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projettività dei fasci p,p2P3z PuPepz3, perchè le rette pi(piPsP3 27); devono corri- 
spondere alle rette p'1(p1Ps Pe Pz); ecc., essendo piPpsPsP7 punti uniti. 
22. Applichiamo le considerazioni precedenti alla nostra trasformazione doppia. 
Sopra una retta A" di 2’ abbiamo una sola coppia di punti congiunti p' p', 
‘chiamiamo €' la conica determinata da p' p' e da tre dei sette punti fondamentali, 
per es. p1p3 3, in questo modo facciamo corrispondere ad ogni retta R” una conica C°. 
Viceversa prendiamo una conica Cl" circoscritta a p1p2p3, la curva congiunta è del 
settimo ordine ed ha un punto doppio in ciascuno dei punti p,p2p3; quindi taglia 
la €' in otto punti non fondamentali, sei appartengono alla curva doppia; gli altri 
due p' p' sono congiunti e determinano la retta A". La corrispondenza tra le rette 
R' e le coniche 0’ è dunque univoca, e trasforma il piano P' univocamente in se 
stesso. Se facciamo passare la R” per p, la coppia di punti congiunti situati sulla 
retta è formata dal punto infinitamente vicino a p,, e dall’ ulteriore intersezione 
della R” colla cubica fondamentale ®,, quindi la ©' corrispondente alla R” passa 
per pi; e Viceversa se una Cl" passa per py, vi passa anche la A” corrispondente, 
dunque î punti p,psPeP7 sono i quattro punti uniti della trasformazione quadratica, 
che perciò viene del tutto stabilita dai punti p;, ed abbiamo veduto come si deter- 
mina il triangolo p1p'3p3, la projettività tra i fasci pi pr p3 P'1P2P'3, e come si 
trova il punto p" corrispondente a p', la conica l° corrispondente a A". 
23. Colie precedenti proprietà possiamo costruire la trasformazione doppia 
come segue. 
Stabiliamo una corrispondenza duale tra i punti p di P e le rette R" di P'. 
Allora dato un punto p troviamo la retta corrispondente R” e quindi la conica C', 
i due punti comuni a A” C' sono i punti congiunti p' p' corrispondenti a p. Se poi 
supponiamo dato p' e vogliamo trovare il punto congiunto p' basta prima trovare 
p', che è il punto corrispondente a p' colla trasformazione quadratica, tirare la retta 
p'p',la conica l' corrispondente taglia la retta in p' ed in p', che viene così de- 
terminato. Se poi vogliamo trovare p dato p' o p' basta tirare la retta p'p", che 
è anche la p' p'’, e trovare il punto corrispondente in P. 
Le costruzioni precedenti dipendono dalla scelta dei tre punti fondamentali p1 pa p3, 
coi punti p; si possono formare 35 terne che danno 35 costruzioni della corrispon- 
denza tra Pe P. 
$ 5. Le equazioni delle 28 tangenti doppie di una curva generale 
del quarto ordine. 
24. La curva doppia passa con due rami per un punto fondamentale, quindi 
la retta corrispondente è una tangente doppia della curva limite ('). Una retta p,p; 
taglia la curva doppia in due punti non fondamentali, non è congiunta a se stessa, 
è tagliata in un punto variabile dalle cubiche corrispondenti alle rette di P,, quindi 
ha per corrispondente una tangente doppia della curva limite (*). Così vediamo che 
(+) IL e BIN > (O) MEIN 
