= ori 
II. I trentacinque fasci di coniche che passano per quattro punti fondamentali, e 
i fasci di curve congiunte del quarto ordine che passano per i detti quattro punti p, 
ed hanno un punto doppio in ciascuno degli altri tre. 
III. I ventuno fasci di cubiche che hanno un punto doppio p, e passano per altri 
cinque punti p;, insieme ai fasci di cubiche congiunte che hanno un punto doppio 
nel settimo punto fondamentale e passano per gli stessi altri cinque. 
Vi sono 68 sistemi S di coniche che toccano in quattro punti 
una curva del quarto ordine, 
1 È interessante osservare che le coniche di un sistema corrispondono alle curve 
di un fascio. 
Trasformando quadraticamente il piano P' possiamo trasformare uno qualunque 
dei fasci di coniche e di cubiche considerati in un fascio di rette che passino per 
un punto fondamentale, in modo che le cubiche per i punti p, diano ancora cubiche 
per sette punti fissi. Da ciò discende che i sessantatre sistemi di coniche quadri- 
tangenti godono delle stesse proprietà, e possiamo indifferentemente considerare quello 
corrispondente alle rette che passano per p;. 
29. Preso un punto p se congiungiamo i due punti corrispondenti p' p' con 
pi abbiamo due rette alle quali corrispondono due coniche di uno stesso sistema S 
che passano per p. 
Vi sono 2 coniche di un sistema S che passano per un punto 
arbitrario. 
Da un punto fondamentale si possono condurre quattro tangenti alla cubica cor- 
rispondente ad una retta del piano doppio, quindi 
Vi sono 4 coniche di un sistema S che toccano una retta data. 
30. Sappiamo già che il luogo £'" delle coppie di punti congiunti separate 
armonicamente da due rette date R, Rs è una curva congiunta a se stessa, del nono 
ordine con sette punti tripli fondamentali (*). La Z' taglia una delle rette R', AR» 
nel punto in cui incontra l’altra, nei sei punti in cui taglia la curva doppia, e nei 
due punti congiunti situati sulla retta; taglia la curva doppia solamente nei dodici 
punti situati sulle R', R',, e nei punti fondamentali. 
La curva £ corrispondente in P è del terzo ordine, passa per i dodici punti di 
contatto della quartica limite colle cubiche corrispondenti alle rette R', Ra, per i 
loro punti doppî, e per il loro punto comune corrispondente all’ intersezione delle 
rette R1 Rs. 
Se A', R' coincidono con A’, un punto qualunque p' di R', ed il suo congiunto p' 
sono separati armonicamente da R, R3, quindi la £' si spezza nella R' e nella curva 
congiunta d’ottavo ordine. 
Facendo passare R', Rs per p; la E' si spezza nella cubica congiunta a p;, ed 
in una curva iperellittica del sesto ordine con sette punti doppî fondamentali (°). 
Queste curve iperellittiche £' tagliano la curva doppia nei punti p; e negli otto punti 
non fondamentali in cui la incontrano le R', R°. 
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