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La trasformazione piana doppia di secondo ordine, 
e la sua applicazione alla geometria non euclicea. 
Memoria del dott. R. DE PAOLIS presentata dal Socio CREMONA 
approvata per la stampa negli Atti dell’Accademia 
nella seduta del 2 dicembre 1877. 
In un precedente studio (') ho stabilito la teoria generale delle trasformazioni 
piane doppie ed ho accennato il caso della trasformazione di secondo ordine. 
In ciò che segue intendo di svolgere le proprietà di questa trasformazione, e 
specialmente in un caso che ha una applicazione alla geometria non euclidea. 
S A. Formole per la cerrispancenza fra P e P'- Costruzioni. 
1. In un piano P' prendiamo una conica 
Oo = 10 + A9g0%, + ag30%3 + 20190 10°, + 2ar30 903 + 2ag1030/,= 0 
ed un punto /' di coordinate 
LA f IA A 
Un==tA UO =0%5 0945 
la polare di /' rispetto alla conica Q,/y7 ha per equazione 
dg = ANDY + AV Y + A330 3/3 + a+) + 303 + LYS 
+ a31 (23/1 + 213) =0.. 
Se poniamo 
(1) XX :X3 = ORO Gai 2010) : Yad a 2/90 v y : V32a! == 2030) y 9 
dove le 2 sono le coordinate di un punto d’un altro piano P, ad un punto e’ di P' 
corrisponde un solo punto # di P, ed alle rette di questo piano corrisponde una rete 
di coniche che passano peri punti JJ comuni alla conica Q,, ed alla retta 0, 
polare del punto /". Da ciò segue che le formole (1) stabiliscono una trasformazione 
doppia di secondo ordine tra il piano doppio P ed il piano semplice P' (?). 
L'equazione della conica corrispondente alla retta 
U= x, + Xx, + Ur3 = 0 
si può mettere sotto la forma 
U,/ (00:70 n 2U; Oa Ni =) 
La Jacobiana è formata dalla conica doppia 
Oi =0 
e dalla retta fondamentale 
O=0 (Ab 
(!) Le trasformazioni piane doppie. Atti dell'Accademia dei Lincei serie 3° vol. 1.° 
(2) L. c. n. 22. 
(C) SA R2 2: II 
