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2. La corrispondenza stabilita tra P e 2° per mezzo delle formole (1) e delle loro 
inverse (4) si può costruire nel seguente modo. Fissiamo una superficie S del secondo 
ordine, un punto 0' di essa, un punto 0 fuori di essa, e due piani P P'. Preso un 
punto p del piano P congiungiamolo con 0, il raggio Op incontra la Sin due punti 
che projettati da 0' sul piano P' ci danno due punti p'p' che in P' corrispondono 
al punto p di P. Preso invece p', o p', e congiunto con 0', il raggio 0p', o 0p', 
taglia la S in O' ed in un altro punto che projettato da O sul piano P ci dà il 
punto p corrispondente al punto p', o p'. Evidentemente la trasformazione doppia 
che si costruisce nel detto modo è quella del secondo ordine. 
Gli enti fondamentali del piano P sono la traccia / della retta 00 e le traccie 
dei piani tangenti alla S che passano per 0'0; la conica limite è la sezione fatta 
dal piano P nel cono che ha il vertice in O ed è circoscritto alla S. 
I punti fondamentali di P' sono le traccie delle generatrici che passano per 0, 
la retta fondamentale è la traccia del piano tangente in 0, ed il punto /" con- 
giunto a questa retta è la traccia della retta 00. Le traccie dei piani che da 0 
projettano le generatrici passanti per 0' sono le rette congiunte ai due punti fonda- 
mentali. La conica. doppia è la traccia del cono che da O' projetta la conica di con- 
tatto del cono col vertice in 0 circoscritto alla S. 
Dato un punto p', si voglia trovare il congiunto p'; il punto, distinto da 0, 
comune al raggio Op’ ed alla S si congiunga con 0; la congiungente incontra la S 
in un altro punto, che projettato da 0' ci dà il punto p' cercato. 
Congiungendo con 0' i punti del piano P', li facciamo corrispondere univoca- 
mente ai punti della superficie S. Se per il punto corrispondente sulla S a p', e per 0, 
si tirano i due piani tangenti alla Sle sezioni sono rappresentate dalle coppie di rette 
l'ap Ja01 , Jap' J103 
dove 0,0% sono i punti comuni alle rette 4°, p' Jap" ed alla conica doppia, il punto 
comune alle J,03 4201 è il punto p'; da ciò deduciamo che la polare di p' rispetto 
alla conica doppia passa per p',e questo punto è l’intersezione della retta /'p' colla 
detta polare. Dalla costruzione trovata discende che la trasformazione SUORE è una 
inversione quadratica d’Hirst ('). 
Se il raggio 00' è tangente alla Sil punto / cade sulla conica limite, ed allora 
nel piano P' v'è un punto doppio non fondamentale. Se la superficie S è un cono i 
punti fondamentali /', J', sono infinitamente vicini (°). 
Prendendo il piano P' parallelo al piano tangente alla S in O' i punti fonda- 
mentali /'1 J', vanno a distanza infinita, quindi: 1° se le generatrici che passano per 0° 
sono reali alle rette del piano doppio corrisponde una rete d’iperbole cogli asintoti 
paralleli, 2° se 0' è un umbilico alle rette di P corrisponde una rete di circoli, 3° se 
la S è un cono alle rette di P corrisponde una rete di parabole con i diametri paralleli. 
3. Possiamo avere una costruzione senza fare considerazioni nello spazio estraneo ai 
(1) L. c. n. 22. 
(2) Ho considerato questi due casi speciali nella teoria generale delle trasformazioni doppie, 
La nm 2 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MEMORIE — Von. II.° 
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