de 595 
alle rette che lo congiungono con i punti ciclici abbiamo per corrispondente in P le 
tangenti condotte da p alla conica limite. Riassumendo questi casi possiamo in gene- 
rale dire che: 
Ai circoli del piano semplice corrispondono nel piano doppio 
le coniche che hanno un doppio contatto colla conica limite. 
o. Ad un punto infinitamente vicino ad un punto p del piano doppio corrisponde 
un punto infinitamente vicino al punto p' del piano semplice, e viceversa; in altre 
parole, le direzioni in p formano un fascio projettivo a quello delle corrispondenti 
direzioni in p', e per conseguenza il rapporto anarmonico di quattro raggi del primo 
fascio è uguale al rapporto anarmonico dei quattro raggi corrispondenti del secondo. 
Se consideriamo le tangenti po, po, che da p si possono condurre alla conica limite 
i raggi corrispondenti sono p'/' p'J'a, quindi prese in P' due curve 04% che si 
taglino in p', chiamate p'7", p'T", le loro tangenti in p', e pT, pT> le tangenti in 
p alle curve CC, corrispondenti in P, abbiamo la seguente uguaglianza di rapporti 
anarmonici 
Pp (01 (05) Ti Ta) _ p' (I ie IPA, To) 0 
Possiamo considerare il piano P come un piano non euclideo, cioè come un 
piano il cui limite (assoluto) sia una conica 
Un 0 0. Va = 
secondochè si ritiene come luogo dei suoi punti x, o come inviluppo delle sue tan- 
genti v, e possiamo considerare il piano P' come un piano euclideo, cioè come un 
piano il cui limite (assoluto) come luogo di punti sia una conica ridotta a due rette 
coincidenti, retta all’infinito, come inviluppo di rette sia una conica ridotta a due 
punti, i punti ciclici (‘). 
Le due curve €‘, C', si tagliano in p' sotto l’angolo euclideo 
fi è tgp pr pr 2 
aan) (Ja TaT2) (0), 
e le curve €10, corrispondenti si tagliano in p sotto l’angolo non euclideo 
o=—5; log p (0109 T, T9) ; 
ma abbiamo veduto che 
p (0109 TT) = p' (JI, T3), 
dunque g=%g', ossia: 
L'angolo euclideo sotto il quale si tagliano due curve di P' è 
uguale all’angolo non euclideo sotto il quale si tagliano le curve 
corrispondenti in P. 
6. I circoli della geometria non euclidea, intendendo per circolo non euclideo il 
luogo di un punto la cui distanza non euclidea 
È log Oy MW, = ae dyy 
Ò si fo) D 
2 O — | OST, — Qi Qyy 
(1) Vedi per es. Klein, Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. Math. Annalen 
Bd. IV und VI. 
(2) Vedi per es. Clebsch, Vorlesungen iber Geometrie 148. Bd. I. 
