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da un dato punto è costante, sono le coniche che hanno un doppio contatto colla 
conica limite ('); la corda di contatto la chiameremo asse del circolo, il centro è 
il polo dell’asse rispetto alla conica limite. 
Un circolo non euclideo si può definire anche come l’inviluppo di una retta che 
forma un angolo costante con una retta data (asse). 
Avendo veduto (n. 4) che a tutti i circoli del piano semplice corrispondono le 
coniche che kanno un doppio contatto colla conica limite possiamo concludere che: 
Ad un circolo euclideo di P' corrisponde un circolo non eucli- 
deo di P. 
Ad un circolo non euclideo di P corrispondono in P' due cir- 
coli euclidei congiunti, cioè due circoli che tagliano il circolo 
doppio negli stessi due punti e sotto lo stesso angolo. 
Mòbius ha fatto corrispondere due piani (affinità circolare) in modo che ad un 
punto del primo corrisponda un solo punto del secondo, e viceversa, e che ai circoli 
euclidei del primo piano corrispondano i circoli pure euclidei del secondo, ed ha dimo- 
strato che l’angolo sotto il quale si tagliano due curve di uno dei piani è uguale 
all'angolo sotto il quale si tagliano le curve corrispondenti nell’altro piano. La nostra 
corrispondenza è analoga a quella di Mòbius, solamente uno dei due piani è euclideo 
e l’altro no; ma sempre ad un circolo corrisponde un circolo, e si mantiene la pro - 
prietà relativa all’uguaglianza degli angoli. 
$ 3. Relazioni tra le distanze di due punti di P, o P’, e dei punti corri- 
spondenti îim P/, o P. 
7. Nella geometria non euclidea la distanza tra due punti, o l’angolo di due rette, 
è della forma 
mat 
dove m è un intero positivo o negativo e d è minore o al più eguale a 3 Segue 
da ciò che due punti, o due rette, hanno una distanza, o un angolo, è minore o al 
siù uguale a È, ed una di ) lementar Ò) 
più uguale a 3 ed una istanza, o un angolo, supplementare 7—0. 
Preso un punto p abbiamo infiniti circoli non euclidei che hanno il centro in p; 
tutti questi circoli hanno pure lo stesso asse che è la polare di p rispetto alla conica 
n 
E) 
una trasversale che tagli l’asse in pi e la conica limite in 010, i punti pp; 010, for- 
mano un gruppo armonico, quindi la distanza tra ppi è 
limite, anzi l’asse è un circolo di raggio col centro in p; infatti se da p tiriamo 
[N si VELI Tn 
dt. log—1= CO 
vale a dire l’asse è il luogo dei punti distanti di un quadrante da p. 
Se prendiamo quattio punti di una retta sappiamo che il loro rapporto anarmo- 
nico è uguale a quello delle loro polari rispetto ad una qualunque conica, quindi 
(!) Klein, l. c. 
