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nella geometria non euclidea la distanza di due punti è uguale all'angolo che for- 
mano le loro rette polari rispetto alla conica limite. 
Vediamo come, dato un punto p, si determina in P' il circolo corrispondente 
alla sua polare rispetto alla conica limite. Da p tiriamo le tangenti po; po» e chia- 
miamo 00°, i punti corrispondenti in P' sul circolo doppio ai punti di contatto 01 02. 
Il circolo corrispondente alla polare 0,0, di p è il circolo che passa per 0/10 e 
taglia ortogonalmente il circolo doppio, quindi il suo centro è il polo della retta 0', 0%a 
rispetto al circolo doppio, perciò tutto sta a determinare questo polo m' dati i punti 
p'p' corrispondenti a p. Se conduciamo le rette Jp! .'ap' il loro punto comune è 0%, 
e se conduciamo le rette J'1p' Ja p' il loro punto comune è 01; le quattro rette 
condotte formano un quadrilatero, le due diagonali J'1/" 0104 sono separate armo- 
nicamente dai vertici pp’, perciò chiamato # il punto comune alle dette diagonali 
le rette 
HJ',J' Ho' 0" Hp' Hp' 
formano un fascio armonico, e formano un gruppo armonico i loro poli rispetto al 
circolo doppio, ossia i punti 
I m' p' p'. 
Questa proprietà basta per determinare m' dati p'p'. 
Il centro del circolo corrispondente alla polare d’un punto p 
rispetto alla conica limite è il conjugato armonico del punto fon- 
damentale /' rispetto ai punti pp' corrispondenti a p. 
8. Nel piano doppio prendiamo due punti Pi Pz € poniamo 
pip.=òd Ipi=òd1, Ipr=òda; 
ai punti pp, corrispondono nel piano semplice le coppie p'1p'1 pa p'o. Sia 
papa=òd Ip1=òd, Ip=M 
Papri=4 /Ipa=d, Ipri=A%, 
e ricordiamo che per la relazione (5) 
(6) ONG sc OrTA 9121 
Siano m', m', i conjugati armonici di /’ rispetto a p'1p' pa pr, e sia 
mamne=—d TImi=d IUmo=dG; 
i circoli che hanno i centri in mm e tagliano ortogonalmente il circolo doppio 
sappiamo che corrispondono alle rette polari di pp» rispetto alla conica limite; ma 
l’angolo formato dalle rette polari è uguale alla distanza dei punti pi p:, quindi 
questa distanza è uguale all’angolo formato dai circoli che hanno i centri in m/1m/» 
e tagliano ortogonalmente il circolo doppio. I raggi di questi due circoli sono 
=Vg=R +V=R, 
perciò 
(7) ani DE (nt at, 
V (9% —k°)(d%>—k?) 
il segno + del secondo membro dipende dai due angoli che formano i circoli, o ciò 
che è lo stesso dalle due distanze supplementari dei punti pi p». 
