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Nei secondi membri delle (10) entra la distanza tra p',p'a e le distanze di pp 
da /'; però stante la doppia forma dell’ unico valore delle d‘, 2", data dalle (9), è 
chiaro che potevamo introdurre nei secondi membri delle (10) in luogo di d'dd 
le quantità analoghe relative alla coppia pp" di punti, ovvero alle coppie pp 
Pip" senza alterare le due equazioni. Avvertiamo solamente che nel caso delle 
coppie Pipa P'1pa la prima delle (10) si cambia nella seconda, e viceversa. 
Passiamo alla risoluzione della (11). Formaudo il quadrato del coseno abbiamo 
ita mae Dì) da (k° — d,) (£2— 0?) — k20° 
[ 2 (k2—0%,) (k?—0 2) 
e per mezzo di questa equazione e della (11) 
irta) _ hd + V (fd) e — da) — WI? 
+ hd' == (4°—d?;) (E—d 3) + hd? 
dove il segno di Kd' deve essere lo stesso nel numeratore e nel denominatore, mentre il 
segno del radicale deve essere contrario. Prendendo il logaritmo dei due membri risulta 
sE) 2 V(kÈ — d'2,)(k2— 02) 
% 
i(mra=0)=log —__ 
ld VR d%)A 1) 
e finalmente 
hd +V 2-3) (Ed) 
(12) mo==l0_al0 
(0) 
lee] 
hd —V (— 92) (kid) +4 
Questa formola che dà la distanza tra pip. può servire a farci passare dalle 
relazioni metriche di una figura del piano non euclideo a quelle relative alla corri- 
spondente figura nel piano euclideo. 
Supponiamo che il punto p'» cada in 7, allora 
do =0 ONE=0 
N 
orop 0 è la distanza tra /' e p',, e le formole (11) (12) divengono 
N N99 N° 
o Ma ZA Ò SURE Ò = k 
sen* == maco=i logogr—7: 
2 pro SE 
la seconda, data la distanza d' di un punto del piano P' da 7°, ci dà la distanza del 
punto corrispondente in P da / Risolvendo la prima rispetto a d' abbiamo 
n 
6 . MT E è 
O = E 
2 
dalla quale facendo m pari o dispari possiamo far derivare le altre 
I r , . Ò NO n_I k tì) 1 
(13) N=l'pi=iket d= Pr PA 0) 
l 
le quali, data la distanza è di un punto del piano P da 7, ci danno le distanze da /' 
dei punti corrispondenti in P'. 
(') Per comodo conveniamo di chiamare p', il punto la cui distanza da /' viene espressa colla 
cotangente, e il p, punto la cui distanza da 7 viene espressa colla tangente. 
