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$ 6. I circoli non euclidei tangenti a dati circoli non cuclidei. 
19. Siano € €‘ C'3 tre circoli presi ad arbitrio in P, e siano C', Ci tre 
circoli congiunti. I circoli che toccano quelli di una delle seguenti terne 
GA C'a C'3 Ci CC CC 
Ci C'è, C3 Ci, Ca 
Cl Ce C3; Ci SC 53 
C',, Cr Cz Ca, Co C3 
danno in P circoli non euclidei che toccano i tre circoli M N, NM3; però i circoli 
tangenti ad una terna della prima colonna sono congiunti a quelli tangenti alla 
corrispondente terna della seconda colonna, quindi si vede che in P avremo 32 circoli 
non euclidei tangenti ad N, N, N3. 
Vi sono 32 circoli non euclidei tangenti a tre dati circoli 
non euclidei. 
Cayley ha risoluto il problema di descrivere una conica che abbia un doppio 
contatto con una conica data e sia tangente a tre coniche che pure hanno un doppio 
contatto colla conica data (‘). Nel linguaggio della geometria non euclidea il problema 
precedente si riduce a descrivere i circoli non euclidei che toccano tre dati circoli 
pure non euclidei. Ecco la soluzione data da Cayley. Congiungendo uno dei quattro 
centri radicali dei tre circoli dati col polo di un asse di similitudine rispetto ad uno 
di questi circoli si hanno 16 rette che tagliano il circolo nei 32 punti di contatto 
coi 32 circoli cercati. 
Se i tre circoli €", C'» 0'3 sono congiunti a se stessi hanno per corrispondenti in P 
tre rette R, Rs R3, e gli otto circoli tangenti ai circoli C' si separano in quattro 
coppie di circoli congiunti che danno i quattro circoli tangenti alle rette A. Per un 
teorema dimostrato dal d” Hart (°) sappiamo che i circoli tangenti a tre circoli 
dati sono quattro a quattro tangenti ad uno stesso circolo, dunque in P vi sono 
quattro circoli non euclidei che toccano ciascuno tutti e quattro i circoli tangenti alle R. 
I quattro circoli iscritti in Iquattro circoli circoscritti 
un triangolo dato sono tangenti ad un triangolo dato sono tangenti 
a quattro altri circoli. ad altri quattro circoli. 
Questi teoremi costituiscono un’ estensione del teorema di Feuerbach alla geo- 
metria non euclidea (°). 
20. Quando quattro circoli, euclidei, sono tangenti ad un quinto le lunghezze delle 
loro tangenti comuni soddisfano l'elegante relazione 
(17) (14) (2!35 = (2/4) (310) = (84) (L12)= 0, 
(1) G. di Crelle, v. 89. 
(2) Vedi per es. Salmon, Sezioni coniche (ed. francese). 
(8) Sarebbe interessante cercare la proprietà non euclidea che racchiude come caso speciale la 
proprietà dei nove punti del circolo di Feuerbach. 
