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trovata da Casey (') nella quale (1°2°) rappresenta la lunghezza della tangente co- 
mune al primo e al secondo circolo, ecc. Se chiamiamo +, ra i raggi del primo e 
secondo circolo, D la distanza dei loro centri, abbiamo 
(L12)= D*— (mr; 
ma 
D° = 9% + 7% — 2ry ra cos (1°2°), 
dove cos(1’2’) è il coseno dell'angolo formato dal primo e secondo circolo, dunque 
(1'2)2= 4rra sen? 4 (1°2)). 
Possiamo trovare dei valori analoghi per (2'3'), (3‘4), .... sostituirli nella (17) 
e dire che tra gli angoli sotto i quali si tagliano quattro circoli euclidei tangenti 
ad un quinto esiste la relazione 
sen 4 (1°4‘) sen 4 (273) © sen 4 (2/4') sen 4 (31) = sen4 (3‘4') sent (1°2°) = 0. 
Dal momento che passando dal piano P' al piano P si mantiene }’ uguaglianza 
degli angoli abbiamo che: 
Se quattro circoli non euclidei sono tangenti ad un quinto 
tra i loro angoli, o le loro tangenti comuni, deve esistere la 
relazione 
(18) sen 4 (14) sen 4 (23) © sen 4 (24) sen 4 (31) # sen 4 (34) sen4 (12) =0. 
Questa formola è del tutto analoga ad una dimostrata da Casey (°) per quattro 
circoli di una sfera tangenti ad un quinto. Se i quattro circoli si riducono ciascuno 
ad un punto la (18) esprime una relazione tra i lati e le diagonali di un quadrilatero 
iscritto in un circolo non euclideo, e così abbiamo l’estensione del teorema di Tolomeo 
alla geometria non euclidea. 
Questo teorema può dimostrarsi anche trasformando colle (14) la relazione (17) 
che esiste tra le distanze di quattro punti di una retta. Infatti se chiamiamo d; d» d3 d, 
le distanze dei punti 1234 da / abbiamo 
iksen4 (12) 
eE= V 9/9 
e COS DI cos d i Ra di 
Bro DAT? 
o ks $ ) ‘en 4 
riy= SENT) qu) Preto; 
03 di di Ò, 
C08-3- 008 3 C08 3 008 - 
e SEAN (gay ESME GA. 
COS —2_ cos di O 10a 
valori che posti nella (17) ci danno la (18). 
(*) Salmon, 1. c. 
(2) Salmon, 1. c. 
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