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Sur un principe fondamental de géométrie et de trigonométrie 
par Mr. EDOUARD LUCAS. 
Mémoire approuvé pour l'insertion dans les Actes de l’Académie 
dans la séance du 7 avril 1878. 
1. — La definition de la puissance d’un point par rapport è un cercle ou è une 
sphère, son expression dans le système des coordonnées cartésiennes, et les propriétés 
‘ les plus élémentaires des déterminants conduisent immédiatement è la démonstration 
d’un théorème général, qui renferme la plupart des propriétés métriques connues. Ce 
principe repose sur la proposition suivante, que l’on doit considérer comme l’exten- 
sion du théorème de Carnot, sur les projections. 
Lemme. Les puissances d’un point par rapport à n-+5 cercles d'un plan, 
ou par rapport à n+6 sphères de l'espace, sont lieés entre elles par n+1 équations 
linéaires et homogènes, dans chacune desquelles la somme des coefficients est nulle. 
En effet, soit 
ci= 0° + y— 2a;03 — 2b;yz + 023, 
le premier membre de l’équation d’un cercle en coordonnées rectangulaires et ho- 
mogènes; on sait que x; représente la puissance d’un point quelconque P de coor- 
données x,y et z=1, par rapport au cercle 0,. En faisant successivement è égal è 
1,2,3,4,5, et en éliminant 4° + y2, x, yz; 3°, entre les cinq équations obtenues, 
on a l’identité 
(el Ga On 1 
d9 I dba C9 | 
ta 1 e la @&|=0V 
Va LV a da 
LU 1 (035 ds Cs 
Ce déterminant s’annule pour des valeurs égales de 41, 22, 23, 4g, #3; on a 
donc, par le développement, 
(1) Lx te MX, + Ng + PX, + qG%; 3 0 
avec la condition 
(2) l+-m+n+P+q=0. 
Il est facile d’étendre cette démonstration au cas de six sphères de l’espace. 
2. — Cela posé, appelons puissance mutuelle de deux cercles de rayons r;et 1}, 
de centres 0; et O; dont la distance est d;;, l’expression 
(3) pe= Tg : 
b; 2r;t} 
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