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nous aurons, en particulier 
di=0, d;j=dj, d=1, dij =0@ji, 
et, pour deux cercles tangents, soit extcrieurement, soit intérieurement 
a;== 1, cu a,=+ 1; 
supposons le point quelconque P placé au centre O; d’un cercle de rayon r;; la puis- 
sance de ce point par rapport au cercle de centre O; est 
= d?;; —r%, 
ou, en introduisant la puissance mutuelle 
(4) ci= 1%; — 21;0;0;;. 
Si l’on fait successivement è = 1, 2, 3, 4, 5, et si l’on porte les valeurs obtenues, 
dans l’équation (1), en tenant compte de la relation (2), on trouve 
(5) rt; Q1j + MPaT;d2;) + N3T;dgj + pratjagj + qrst;az;j= 0; 
maintenant, si nous donnons è 7 les valeurs 1, 2,3, 4, 5, nous obtenons cinq équa- 
tions qui conduisent, par l’élimination de 2, m, n, p, g, è l'identité 
| ridi  Til2012 Til3013  Vil4Oi&  T4T5015 
VgT10491  V9g12097 TaT3423 TotygAgg Ta5425 
(6) TglM1d31  Tgf2043x  Y373033  Tg1;Agg Tgt5035 |=0. 
TylaQg1 TaT9gQxg Vit3zdzg ValtgQgg  Vil54g5 
TyT10z1  Y372052 1573053  T3T4Aza  ‘T3T5435 
Lorsque les rayons ne sont pas nuls, on peut diviser les éléments de la 7ème 
ligne par r;, et ceux de la ji" colonne par r;; on a ainsi 
(7) > 01102 A330g ag5=0; 
d’où, cette proposition: 
Théorème fondamental. Le déterminant des puissances mutuelles de cinq cercles 
d’un plan ou de sia sphères de V’espace est identiquement nul. 
3. — Lorsque deux cercles se coupent, leur puissance mutuelle est égale au 
cosinus de leur angle A;;, compté conformément au principe des signes; en désignant 
par T,; et V;; les longueurs des tangentes communes, on a aussi 
(8) = ae La È V2;;= — 4r;f; 608? = : 
Lorsque les quatre cercles 0,, 03, 03, 0, sont orthogonaux è un cinquième cercle, 
la formule (7) donne 
DE 41, 09,0304,= 0, 
ou, en se servant d’une notation connue, 
(9) sin? A 1934 (0) 3 
Désignons encore par ©; l’angle du cercle de centre 0; avec le cercle radical 
O;,, de trois autres cercles, on a encore 
cos 0, sin Agg; = cos ®, sin Ag;3 = 08 ©3 sin A;19 = c08 ©; sin A193 
(10) = sim A 19934 0 
4.— Nous allons montrer que le théorème fondamental s’applique lorsque 
l'on remplace tous les cercles, ou plusieurs d’entre eux, par des points ou par des 
droites, situés è distance finie ou indéfinie dans le plan. 
Lorsque le rayon rs s’annule, le cercle Oy se réduit è son centre; on a 
Qrs= rr — dis, 2 rs ass = 0; 
