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ou, en développant 
(17) XI sini +... 2%, Xa sint SIL sin? Coni 0 
ou encore 
(18) sin EVA sin SV sin tV = 0: 
ces trois équations représentent, sous trois formes différentes, l’ensemble du système 
des deux cercles tangents du premier couple, à trois cercles donnés. 
Si l’on fait Qy,= 0, =0g,= 0050, on a 
Aw A 
7 +9 POROEZI E) 
0) sins=isin DI Xi 
n | 
» DISTA” 
sin 2. 000 sin? 3° Xg 
(19) tg°© sin? A133 X2,03 + 5 A 0; 
2 Agi DINO, Às39 
sinî —— sin? = 0 Xg 
D 2 
| Xi Xo Xg 0 
c'est l’équation du système de deux cercles qui coupent sous le mème angle © trois 
cercles donnés. Tous ces cercles possédent le mème axe radical; c’est une proposi- 
tion connue. 
6. — Supposons encore dij = ad; = 03; = @,g==— 1, dans le déterminant (7), 
nous obtenons, par une transformation facile 
| A Ai: À 
r 39) I 06 13. 092 14 
0 ano = pmi sin? = | 
2 2 2 | 
3 £ o Ax 
sin? 2 0 sin? —® sin? ori | 
(20) = o 
302 Ag 3-9 Az, 0 299) Ag, 
Sun 9 sin IDE sin 9 
Ax Axa Ax3 
CARO OI Ro | 
sin 9 sin 5 sin 9 0 | 
Le déterminant qui précède est le produit des quatre facteurs 
o A Eco As, 6 GEIL À D/ È A RIO À33 
(21) sin> sin "a = sin SE sin =" ==usin So sas 
dl [9] dd ld fi i 
donc, lorsque quatre cercles sont tangents è un cinquième, l’un des facteurs précé- 
dents est nul; on retrouve ainsi le théorème de M. Casey sur les longueurs des 
tangentes communes de quatre cercles qui touchent un cinquième. 
Si l’on fait agj= og = 035 =0,3= 089, on obtient 
(22 tang* © sin? Ajggj += 0; i 
on détermine ainsi l’angle du cercle qui coupe quatre cercles donnés sous le mème 
angle; en portant cette valeur dans la relation (19), on obtiendra l’équation d'un 
cercle qui coupe quatre cercles donnés, sous le mème angle. 
Il résulte des considérations précédentes que, dans l’application du théorème 
fondamental, on doit supposer la puissance mutuelle d’un cercle et d'un point, 
comme égale et de sione contraire è la distance circulaire du point an cerele, et la 
puissance mutuelle de deua points confondus, comme nulle. 
