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Ainsi, pour trois cercles 0, 0», 03, un point 0, dont les distances circulaires 
aux trois premiers sont X, Y, Z, et une droite è l’infini, on a 
ai do dg X = 
TA | 
do da d9g Y i | 
T9, 
(27) | agi a3o 033 4 È li 
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c'est la relation fondamentale entre les puissances d’un point. par rapport è trois 
cereles, en coordonnées tricirculaires. 
On obtiendra ainsi, par l’application de notre théorème: 
1° la distance de deux points, ou plus généralement, la puissance mutuelle de deux 
éléments (points, droites, plans, sphères), dans les systèmes de coordonnées cartésiennes, 
obliques, trilingaires, tricirculaires, tétraédriques, tétrasphériques, ou dans les systèmes' 
corrélatifs des coordonnées tangentielles, bipolaires, triponctuelles, tripolaires, etc. 
2° les équations de ces différents éléments dans les divers systèmes de coor- 
données, et, en particulier, les équations de la droite ou du plan de l’infini, des 
points circulaires ou du cercle de l’infini, etc. . 
Il résulte d’ailleurs de ces considérations une extension toute naturelle du prin- 
cipe de dualité, que l’on peut formuler ainsi: 
Principe de mutualité. Toute propriété descriptive ou métrique exprimant une 
relation entre des points, des droites et des plans, s'applique au système plus général 
dans lequel on remplace les.poînts, les droites et les plans par des cercles ov des sphòres. 
Nous terminerons cet exposé par la solution du Problème de Malfatti généralisé 
par Steiner. Il s'agit de déterminer trois cercles tangents entre eux deux è deux et 
tangents è deux des cercles d’un système de trois cercles donnés. 
Désignons par 01, 02, 03 les trois cercles donnés, et par 0,, 0g, Os les trois 
cercles cherchés. On a, en désignant par v, v, w trois inconnues à déterminer; en 
supposant tous les contacts extérieurs, 
dg, ag,=— l, Qgg=— IR 
as=—l, dg=%v, as=— 1, 
ag=—1, ag=—l1, ag=%w, 
ds=e= dag=— I. 
L’application du théorème fondamental, cu du théorème de M. Casey, donne 
. At . Ao o Ax 
Gin == gin = = gm == == il 
2, 2 2 i, 
; 25 As6 Agg 
sin Gain =S = gin ae il 
2 2 2 
n A a nr o A 
sin =38 sin E — sin 31 +1 
Di 2 2 
