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Sull'applicabilità delle superficie degli spazî a curvatura costante. 
Nota del dottor LUIGI BIANCHI 
approvata per la stampa negli Atti dell'Accademia 
nella seduta del 5 maggio 1878. 
Le considerazioni seguenti mi sono state suggerite dallo studio della Memoria 
di Klein sulla geometria non-euclidea (Mathematische Annalen, IV Band, p. 573). 
Esse sono un primo tentativo di ricerche, che forse potranno condurre a risultati 
ulteriori. i 
1. — Chiamo applicabili due superficie dello stesso spazio o di due spazî di- 
versi a curvatura costante, quando le espressioni dei loro rispettivi elementi lineari, 
calcolate nella determinazione metrica (Massbestimmung) dello spazio in cui esistono, 
sono eguali o si possono render tali con un conveniente cambiamento di coordinate. 
Un essere, le cui cognizioni geometriche non si estendessero oltre le due di- 
mensioni, che vivesse successivamente sopra due così fatte superficie applicabili, effet- 
tuando sopra di esse le misurazioni colle leggi delle rispettive determinazioni metriche 
degli spazî, in cui quelle superficie sono collocate, le troverebbe identiche; almeno 
per quelle regioni dell'una, che hanno corrispondenti regioni sull’altra. 
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Ciò che segue è relativo alle superficie di rivoluzione di uno spazio a curvatura 
costante i chiamando con questo nome una superficie luogo di cerchi, i cui 
centri siano sopra una retta r (asse) e i cui piani siano tutti perpendicolari alla r 
stessa. Questi piani passano tutti per la conjugata »' di r rispetto all’assoluto (*), e 
poichè la corda di contatto fra uno di tali cerchi e la sezione del suo piano coll’as- 
soluto è la polare del centro del cerchio rispetto a questa sezione, cioè la retta r', 
segue che tutti i cerchi suddetti toccano l’assoluto nei punti A, B, ove la »' incontra 
l’assoluto stesso. Le tangenti ad uno qualunque di questi cerchi uscenti dal centro 
sono le rette, che vanno ai punti A, B. Una superficie di rivoluzione è dunque bi- 
tangente all’ assoluto e la corda di contatto è la conjugata »' dell’ asse rispetto 
all’ assoluto. s 
Si costruisca ora una determinazione metrica speciale prendendo a conica fon- 
damentale quella in cui un certo piano P (fissato ad arbitrio) passante per »' in- 
terseca l'assoluto; allora si potrà far accordare la determinazione speciale colla 
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generale in quel punto di v che è il polo di P, in modo cioè che gli angoli intorno 
(4) Cfr. per es. D'Ovidio, Studio sulla Geometria projettiva (Annali di Matematica, Serie 2°. 
Vol. VI, pag. 72). 
