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a questo punto e i segmenti infinitesimi uscenti da esso abbiano nelle due determi- 
nazioni la stessa misura, con una scelta conveniente delle costanti della determinazione 
speciale (Cfr. Klein, $ 7, 14). 
Una superficie di rivoluzione $, intorno all’asse r, nella determinazione gene- 
rale, è ancora di rivoluzione nella speciale, intorno al medesimo asse. Infatti i piani 
passanti per #° sono perpendicolari ad r anche nella determinazione speciale, perchè 
il punto ove r incontra il piano all’infinito P della determinazione stessa, è il polo 
di r' rispetto alla sezione di P coll’assoluto, la quale è la conica fondamentale della 
determinazione metrica speciale. Inoltre le sezioni di P con S si appoggiano in due 
punti 4, B a questa conica fondamentale e quindi sono cerchi anche per la suddetta 
determinazione, i loro centri trovandosi manifestamente sulla retta r. 
Nella determinazione metrica speciale così costruita prendiamo tre assi ortogo- 
nali, vale a dire, tre assi passanti per i vertici di un triangolo conjugato rispetto 
alla sezione di P coll’ assoluto, dei quali l’asse z sia la retta r. Assumendo come 
coordinate di un punto le coordinate cartesiane relative alla detta terna di assi, poi- 
chè nella determinazione speciale l’ assoluto diviene una sfera di raggio 2c, dovrà 
la sua-equazione prendere la forma: 
a+ yz+ 3 —4e— 0 
e l’elemento lineare dello spazio secondo la determinazione generale sarà dato dalla 
formola (Cfr. Klein, $ 14): 
4c* (ede+ydy+2d2)* +(4c— a —y—22)(de°+ dj? +dz°) 
Il a 
(1) (4 at — y° — 33 
Consideriamo ora una superficie S, che sia di rivoluzione intorno all’asse 3 (ossia r) 
nella determinazione generale e quindi anche nella speciale. Le coordinate di questa 
superficie saranno date dalle formole: 
(2) X=p0080, y=pseno, 53=%©(02), 
mediante le quali vogliamo ora calcolare l’ elemento lineare di S nella determina- 
zione generale. Dalle (2) si ricava: 
ade +ydy= pdo, de +dy= dp + pda, 
quindi la (1) ci darà per il quadrato dell’elemento lineare richiesto: 
4c° (1-5) +29 (0) (0) —p°9*(0)— 0? (0) RO 3 
PT iena 
(o 03 RES 03 0) 
Ma questa forma dell’ elemento lineare conviene anche alle superficie di rivolu- 
zione dello spazio euclideo, quando si prendano a linee coordinate i meridiani ed i 
paralleli; si ha dunque. il teorema: 
Le superficie di rivoluzione degli spazî a curvatura costante 
sono applicabili sulle superficie di rivoluzione dello spazio or- 
dinario; ai meridiani ed ai paralleli delle une corrispondono i 
meridiani ed i paralleli delle altre. 
2 
o 
(3) ds=40? 
