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Da quest’ultima parte del teorema vanno però escluse le superficie di curva- 
tura costante. 
È noto inoltre che nello spazio ordinario una superficie di rivoluzione può de- 
formarsi in infiniti modi, pur restando di rivoluzione, e in questo caso i meridiani 
_ed i paralleli restano tali per le successive deformate, escluse solo le superficie di 
curvatura costante. Potremo quindi enunciare l’altro teorema: 
Le superficie di rivoluzione degli spazî a curvatura costante 
si dividono in infinite classi di superficie applicabili le une sulle 
altre ed, escluse quelle di curvatura costante, in quelle appar- 
tenenti ad una stessa classe i meridiani ed i paralleli dell’una 
corrispondono ai meridiani ed ai paralleli dell’ altra. 
Mediante la formola (3) si potranno determinare le superficie di rivoluzione or- 
dinarie applicabili sopra una data superficie di rivoluzione dello spazio non-euclideo, 
e viceversa, data una superficie di rivoluzione dello spazio ordinario, si potranno tro- 
vare quelle pur di rivoluzione dello spazio non-euclideo applicabili sopra di essa. 
La risoluzione di questi problemi dipende dall’integrazione di un’equazione differen-, 
ziale di 1° ordine, che nel primo caso si riduce subito alle quadrature. 
2.— Consideriamo ora qualche caso particolare ed in primo luogo cerchiamo 
l’ elemento lineare di una sfera col centro nell’origine 0 degli assi il cui raggio 
‘misurato nella determinazione speciale sia », essendo evidentemente le sfere di centro 
0) tali per le due determinazioni. L'elemento lineare (1) espresso in coordinate po- 
lari 0, 9, © della determinazione speciale suddetta è dato da: 
p° dp? + (Ac? — pÎ) (dp? p*d9°-+- p° cos? 040?) 
4 ds — 4c? i ; 
(4) (4c — 0°)? ) 
ponendovi pr, do==0, si avrà l’elemento lineare richiesto della sfera colla formola: 
ds== e (40° + cos? 040°); 
ma questa espressione del quadrato dell’ elemento lineare appartiene anche ad una 
; : 2er ° Rae 
sfera di raggio —__ dello spazio ordinario. Dunque: 
i Vac— rp? l 
La sfera degli spazî di curvatura costante è applicabile so- 
pra la sfera ordinaria. l 
(one: È 1 2c7 x 
Si può osservare che il raggio = è reale (essendo r reale) tanto per 
Ac — 3 
la geometria iperbolica, quanto per l’ ellittica (Klein, $ 11, 12). Infatti, se c è im- 
IE, È s : de 2c,0 3 ; 
maginario = dci, l’espressione precedente diviene —— e, se c è reale, siccome 
V 4412 
2c è il raggio della sfera assoluta misurato nella determinazione speciale, per i punti 
accessibili dello spazio iperbolico si ha sempre r<2e. Si noti ancora che nella espres- 
sione 
Targa che dà il raggio della sfera ordinaria applicabile su quella dello 
7 GA 2A 
spazio non-euclideo, si può sostituire ad r il raggio di quest’ ultima sfera misurato 
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