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nella determinazione metrica del suo spazio (Klein, pag. 619, nota). Indicando con R 
questo raggio, dalla (4) ponendovi dd = de=0 si avrà; 
Ac? 
tile E 
i Ac — p° RE 
di i nno ° 
Ve Veg Da 
sicchè si può dire che sopra una sfera di raggio X di uno spazio a curvatura co- 
da cui: R= 2e sett tang h cn r= 2c tangh 
1 E: PAIS R 
stante — 12 vale la geometria di una sfera ordinaria di raggio 2c senh 7: 
3. — Poniamo ora la condizione che la superficie di rivoluzione, il cui ele- 
mento lineare è dato dalla (3) sia applicabile sul piano ordinario, ossia che abbia 
una curvatura nulla. È noto che, se l'elemento lineare di una superficie è dato 
dalla formola : 
dsì—= Edu*— Gdv?, 
quando £, G siano funzioni della sola «, la curvatura A è data da: 
ì @ (2 DIC) 
Kk-— =: = . 
VEGdu \V E du 
Esprimendo quindi che la curvatura della superficie il cui elemento lineare è 
dato dalla (3) è nulla, si avrà la equazione di condizione 
a 1-99 (0) DeL, 
d - x, Ve? 
Vie(1+ 20) del 
ossia, facendo una prima integrazione: 
—0, 
4g (0) CAT 
fi I 2 3 9 do Va ig { 
7 4c? (1-7? (0) ) +20 (0) gl (O_o (Mg (0) i (0) 1) O) (2) 
—}, 
dove & è una costante arbitraria. Eseguendo la derivazione, si trova: 
(5) 4-2 (A) I | 3 (1g 0) +2e0 (9 (E? (0) (p) 
4cî—p°—9? (0) 
Integrando questa equazione differenziale del 1° ordine si avranno tutte le su- 
perficie di rivoluzione dello spazio non-euclideo applicabili sul piano ordinario. Cer- 
chiamo se fra queste superficie ne esistono di quelle del 2° ordine. Nella determinazione 
speciale la curva meridiana di una tale superficie di rivoluzione dovrà essere un’el- 
lisse, un’ iperbola od una parabola. Quest’ ultimo caso non è possibile, perchè, se 
si prende 
