— 483 — 
la (5) non può essere soddisfatta. Restano dunque i primi due, che si possono com- 
pendiare nella formola: 
b 
PET 
(7 (0) <a V af? . 
dove le due costanti @, © sono reali, od una di esse è puramente immaginaria. Con 
questo valore di (0) si trova facilmente che la (5) diviene: 
(6) al(4c’—0°)(a°—#)=k? | 4c?(62—a?)p°+a'"(4c°—02) ; (4c0°—b*)a?+(b°—a?)0* ; 
Trasportando tutti i termini nel 2° membro dovrebbero essere nulli i coefficienti 
delle diverse potenze di p; ora il coefficiente di p*% è: 4c°%?(02—a)’, dunque si do- 
vrà avere: B=0 pono =: 
Ma se 62 —=a?, dovrà anche essere nullo il coefficiente di p?, cioè a'(4c2—2?), 
ossia: P= = 
e si avrebbe quindi per soluzione l'assoluto, che è da escludersi perchè i coefficienti 
dell’elemento lineare (3) diverrebbero allora infiniti. 
Resta dunque il caso di K-=0. Allora, perchè la (6) sia soddisfatta, sarà ne- 
cessario e sufficiente che si abbia: 02-42. Questa è una vera soluzione, perchè, re- 
stando a arbitrario, l’espressione (3) non presenta alcuna singolarità. 
Le superficie del 2° ordine, che abbiamo così trovato, hanno nella determina- 
zione metrica speciale per lunghezza dell’asse di rotazione 2c, che è anche il raggio 
dell’assoluto nella determinazione stessa. Quindi esse sono tangenti all’assoluto nei 
punti €, D, nei quali » lo incontra (possono essere cioè pensate come superficie di 
rotazione tanto intorno ad r quanto intorno ad r'). Ne segue che quelle superficie 
e l’assoluto si segano lungo quattro generatrici, poichè il loro piano tangente co- 
mune in € le taglia amendue lungo le generatrici CA, CB e parimenti quello in D 
lungo le DA, DB. Reciprocamente è facile vedere che ogni superficie del 2° ordine, 
avente a comune coll’ assoluto quattro generatrici, appartiene alla classe trovata ed 
è quindi applicabile sul piano ordinario. 
Inoltre si vede che le sezioni di una tale superficie con piani passanti per r, y' 
sono due sistemi di geodetiche ortogonali, poichè esse sono le linee f, @ della (3); 
esse corrispondono quindi a due sistemi dirette ortogonali del piano, su cui la su- 
perficie è applicabile. 
4.— Le cose precedenti stanno in una notevole relazione colla teoria dei mo- 
vimenti nello spazio non-euclideo ('). Un° movimento in un tale spazio non è altro 
che una trasformazione omografica, che lascia invariato l’assoluto, cangiando ciascuna 
generatrice in un’ altra generatrice dello stesso sistema. Vi sono poi quattro genera- 
trici, due di un sistema e due dell’altro, che restano affatte invariate per il movi- 
mento, e con esse e coll’assoluto restano pure invariate le superficie del 2° ordine 
del fascio che passa per quelle quattro generatrici. I risultati, che abbiamo prece- 
dentemente ottenuto, possono dunque enunciarsi così: 
(') Cfr. la Memoria di Lindemann nel T. VIII dei Math. Ann. p. 56. 
