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per l’essiano. Questo elemento allora, giusta la formula (5) di questo capitolo, diven- 
terà multiplo secondo 2n—8 pel covariante è, cioè questo covariante diviene la 
(2n—8)" potenza di una forma lineare, e il covariante j diviene Ja (3n— 12)": 
potenza della stessa forma, giusta la formula (3). 
Si può dunque enunciare il teorema: 
« Se la forma fondamentale ammette un elemento multiplo secondo il numero 
«n-— 2, lo stesso elemento diventa multiplo pei covarianti è e 7 risp. secondo i 
« numeri 2n—-4 e 3n—- 12». 
Teorema IV. — Le condizioni necessarie e sufficienti perchè f ammetta un ele- 
mento (n—2)? e un altro elemento doppio sono compendiate nelle identiche equazioni: 
i — 6j?=0, (18) nH—-2(n_-2)jf=0. (19) 
Infatti, assumendo come punti coordinati nella rappresentazione geometrica gli 
elementi multipli di f, possiamo scrivere: 
n(n_—1) na 
PO to) 9 i 2 Go (20) 
donde : LI SINNI, È 2 ; 3n-12 
H=—(n—-1)(n—-2) ci ‘GR i= 601°, gati, 
id — 6j? =0, nH—-2(n—-2)jf=0. 
Reciprocamente per le condizioni (18) e (19) gli elementi di f appartengono an- 
che ad H, epperò f non può ammettere che elementi multipli, dei quali uno dev’ es- 
sere (n—2)? per la condizione (18), epperò f assumerà la forma (20). 
Teorema V. — Le condizioni necessarie e sufficienti perchè f ammetta un ele- 
mento (n—1)P! sono compendiate nelle due identiche equazioni: 
o= 0 g= 0 (21) 
Infatti, assumendo come punti coordinati l’ elemento (n—1)?! e l’elemento sem- 
plice di /, si può porre: 
donde : i = 0, gd=0. 
Reciprocamente, se verificansi le condizioni (21), si annullano i due invarianti 
dei centri armonici di quart’ ordine di un polo qualunque rispetto ad f, epperò tre 
di quei centri armonici coincidono in un solo, il quale sarà quadruplo pei centri ar- 
monici di quint’ ordine, quintuplo per quelli di sesto ecc., e finalmente (n— 1)M° 
per la forma fondamentale. 
Giusta la formula (4) le condizioni (21) equivalgono a queste altre: 
i = 0, v= 0. 
Il sig. Brioschi ha dimostrato negli Annali di Matematica pura ed applicata 
Vol. VIII, serie II, che per la sola condizione ; 
O = 0 
le forme di 4°, 6°, 12° grado rappresentano il tetraedro, l’ottaedro, 1’ icosaedro; men- 
tre, per tutte le altre forme, dalla condizione î = 0 segue l’altra j= 0. 
