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epperò a,=a3=0;=0, 
"= 49018 4150, 0129 + 15a eat +09, 
cosicchè i sei elementi della forma f si distrbuiscono in tre coppie appartenenti alla 
stessa involuzione cui appartengono l, m, n. 
Si può verificare facilmente, che i covarianti j e H si scompongono in coppie 
di elementi appartenenti alla stessa involuzione, e che i rimanenti covarianti, che 
tutti son determinanti funzionali, si scompongono nella coppia dei punti doppî del- 
l’involuzione, e in coppie di elementi appartenenti alla stessa involuzione. 
Si ritrovano gli stessi risultati, partendo dalla equazione quadrinomia : 
{= Ao + 1543 cit 150, Vo la Lal + 0% I96 b 
Possiamo dunque enunciare il seguente: 
Teorema. — « La condizione necessaria e sufficiente perchè gli elementi di { 
< appartengano alla stessa involuzione è data dall’ annullarsi dell’ invariante di 15° 
« grado R, purchè sia ((m)2m,=0 >» (*). 
Se invece è (Im) Z,m, identicamente zero, epperò R=0, abbiamo visto (al 
$ 11, cap. III) che possono succedere i due casi: î,=0, ovvero BA—Ci= 0. 
Nel caso ij==0 la f o contiene un elemento triplo, ovvero si scompone in tre 
‘coppie delle quali l’una (£f= 0) è armonica alle due altre. 
Nel caso BA—Ci=0, i sei punti di f si distribuiscono in due terne ed i 
punti di ciascuna terna sono ciclicamente proiettivi rispetto alla stessa coppia di 
punti {=0. 
Un caso importante di questo che abbiamo studiato è quello in cui, insieme @ 
R=0, si pone D;j=0, supponendo sempre ((/m),m,=0. 
Allora due elementi di f coincidono fra loro e, poichè escludiamo il caso che 
f ammetta un elemento triplo, ciò può avvenire in due modi: o che due elementi 
di, una stessa coppia coincidano in uno dei punti doppî dell’involuzione ; ovvero che 
an elemento di una coppia coincida con un elemento di un’altra coppia es quindi il 
secondo elemento della prima col 2° elemento della seconda. Nel primo caso, assu- 
mendo sempre come punti coordinati i punti doppî dell’involuzione, la f deve assu- 
mere la forma trinomia: 
== are + 1509 MOI el 150, 01° 9 o 
partendo dalla quale, oltre a R=0 e D;=0, trovasi: 
E=2.3A°—3.5°2AB—2.5°C=0. 
Segue da ciò che le due condizioni R=0 e D;==0 devono condurre ad un inva- 
riante, che si deve scomporre in due fattori, dei quali uno dev'essere E. 
| Ora giusta la formula (7) del cap. II, il quadrato dell’invariante R si esprime 
dapprima mediante gl’invarianti: Ay...... Amr, nel seguente modo: 
D) 2 2 2 
Alip= Au AGG An ini 2A mn Ani Alm == Au ATA a ATO An AI Alm . 
(') Cfr. Clebsch op. cit. pag. 457. 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MeMorIE — Von. XIX°. 6 
