LIO e 
Esprimendo poi gl’invarianti A,,...... Am mediante i quattro invarianti A, B, 
C, D, si ottiene: | 
22.35. R° = — 2.83%D3-+34(2.3.BC+ AB?) D? + 22. 33(2.3B?C* + 
+-2.3A0*+-3AB?C+-2.A*BC*-+ B*) D—22.3.13B®*C —2.3%A.B! — 
— 2'.3A° B5 C — 2° A* B3 C? — 2°. 82. 7AB*C? — 2%. 3% A° B203 — 23,34 ABC — 
—24.3A% C—2%. 33.05 — 21, 3 B? 03, 
Ponendo in questa espressione: 
D = za(—2° BA0-+21.3.5%A3B|-2!51A*C—2.3.5%AB*—22.3.5B0), 
si trova un invariante del trentesimo grado composto di 27 termini espressi mediante 
gl’invarianti A, B, C, il quale diviso per l’invariante E dà per quoziente un invariante 
del 24° grado, quadrato dell’invariante del 12° grado: 
F = 210,345 — 253.52. 11A*B — 29.53. 7.A3.C-+23.3.5% 17A°% B°+ 
-+- 21.32.55. ABCO —3. 5%. B*4-2.32. 55 (2. 
Se poi dividiamo il secondo membro della relazione, che esprime il quadrato 
di R mercè gl’invariauti fondamentali, pel discriminante D;, si trova per quoziente 
l’invariante di 20° grado: 
G=2.3% 510 D?—28. 33. 55. AI DH- 2°. 33.58 A* BD-+- 29. 3%. 5° A°? CD — 
— 33.51! AB? D — 2.833.510, 7B0D +21, 3° A10— 313, 32.55 ASB— 
— 213.3. 54 AT C4-27. 32. 5). 29A% B®? + 28.3..5°. 133A5BCD— 
— 2° 3558434 99, 58. A4C®— 9% 32, 58.37A3B® (42.32 511 A®Bi_ 
— 23.5%.3.59A? BO* + 22.8. 510, AB? C — 23.33 510, AC3 — 
— 2°. 32, 5!0 BI. 4-29. 32, 510 B? C2, 
Si ottiene così la relazione: 
22,3%. 51° R? — 28F2-4-D,.G. 
Le ipotesi R=0, D;=0 conducono dunque ai due casi: 
1) E=0. In questo caso l'elemento doppio di f coincide in uno dei punti doppî 
dell’involuzione cui appartengono gli altri quattro elementi. 
2) F=0. In questo caso i due elementi di una coppia coincidono cogli ele- 
menti di un’altra coppia, e prendendo come punti coordinati i due elementi doppî 
di f, sì potrà porre: 
N30 (( ci+203 0% + dy a) i 
Se insieme a D;=0 si hanno le due condizioni E=0, F=0, f deve ammettere 
un elemento doppio che rappresenta uno dei punti doppî dell’involuzione determinata 
dagli altri quattro, e due di questi elementi coincidono in uno, il che può avvenire 
in due modi. Nel 1° due di questi quattro elementi coincidono coll’altro punto dop- 
pio dell’involuzione; nel 2° due dei quattro elementi coincidono con gli altri due 
ed f diviene un quadrato. 
Nel 1° caso, assumendo come punti coordinati i due elementi doppî, f assume 
la forma binomia: 
= 15x12 Lo} (da Vi ki HkH A L9°) . 
