— 46 — 
« Le condizioni necessarie e sufficienti perchè / assuma la forma trinomia pre- 
< cedente sono: 
8°An—-2AK=0, 34D—-2AK?—2A°K=0. 
II) In questo caso trovasi facilmente, oltre a Ra=0, 
ATI=10 AGRN10] 
donde segue: 
C(6GB—A?)=C.K=0. 
L'ipotesi C=0 conduce all’altra B=0, epperò é deve ammettere un elemento 
triplo, e poichè per l’equazione Il è: a3=&=0, dev'essere qa =1094=0. 
Non può essere ao=0 senza che si annulli il discriminante D;, caso che noi 
escludiamo, epperò dev'essere ag = 0, cosicchè f assumerà la forma: 
f== aa, + 60301088, 
da cui si ricava A=B=C=0. 
Reciprocamente, supposte le condizioni: 
ATI 100 
epperò: 
Agen =i= Aa =05 AA 0, 
assumendo come punti coordinati gli elementi doppî /, n, possiamo porre: 
u= 09} . n= 9%? 9 me 2mq La LI è 
D'altra parte essendo (im)?i, =n=,, si conchiude che i due elementi di n 
coincidono colla radice tripla di è e, poichè è D,,= 0, i due elementi di coincidono 
colla radice semplice di ?, cosicchè possiamo porre: 
i= 40,015 9 + 
Dalle relazioni: 
(APaS=ZA (an)ta,s=Im, 
segue allora: 
Me =@=@h=TW= dg 
e possiamo enunciare il teorema (‘): 
« Le condizioni necessarie e sufficienti perchè f assuma la forma binomia: 
f= 492,0 + 64; 6103) 
« sono espresse dall’annullarsi dei tre invarianti A, B, C ». 
Supponendo ora C=0, si ottiene: 
KI0h 62. C+A°=0, X=0, Ig 0 
È facile vedere che l’elemento doppio è non può coincidere coll’elemento doppio (, 
senza che sia B=C=0; dunque possiamo porre, assumendo come punti coordinati 
l’elemento doppio di è e:l’elemento comune ad è ed {: 
i= 6,00 +4ag 010, Ia. 
Dalla relazione: 
Lane 
(AP at= DA siii Ai, 
segue allora: bh=ih=0, 
(') Cfr. Clebsch, op. cit. pag. 467. 
