«Le condizioni necessarie e sufficienti perchè j rappresenti il covariante di 
«6° ordine di una forma biquadratica sono espresse o dall’identica equazione è =0, 
«nel qual caso j non differisce dalla forma fondamentale che per un fattor costante, 
« ovvero dalla equazione identica BA— Ci =0, insieme alla relazione invariantiva 
«5KC+3*D=0 ». 
$S 4. 3.5m—2%A,.l=0. 
In questo caso, in cui j ammette un elemento triplo, dev'essere nullo il suo di- 
scriminante D;, epperò, giusta la relazione: 
Ì — 210,39D;—K3. Rm 
dev'essere nullo R,x, ovvero K. Se è Rin=0, siccome (v. Cap. III, $ 8) si annullano 
gl’invarianti 3.5%B;— 2% A;?, e 32.5°C;—2“A,8, giusta le relazioni: 
23.34.5.10?(3.52B;—23A;?)=2%(32.5A,4+2*AK)(2.32.5Ay—11AK)+3%K2(32A°%4-52K)—0, 
23.35. 10*(32. 53 C;—2"A 3) —5.10* Ra — 2. 3‘.10*(3.5°B;— 23A;?) (5° AK4-22,32.17A,) + 
+-34.53 K3 (3.5An+2°* AKR)=0, 
se è K=0, dev'essere: 
SDA n+- 23 AK=0, SAL 53K_=0, lp =0 a 
che equivalgono alle tre altre: 
3.5°B—-2%A?—0, 3.53 C—25A°—= 0, .5°D_2A°0, 
che sono necessarie e sufficienti perchè f ammetta un elemento triplo. Reciprocamente 
è facile vedere che, se f ammette un elemento triplo, questo è anche triplo per la 
forma j. 
L'ipotesi K=0 conduce ad Ayn=0, nel qual caso j ammette un elemento qua- 
druplo. Si può dunque concludere: 
« La forma j non può ammettere un elemento triplo senza che f ammetta lo. 
« stesso elemento triplo ». 
Abbiamo dimostrato che se un elemento diviene triplo per la forma j, senza di- 
ventare di superiore multiplicità, dev'essere anche triplo per la forma fondamentale. 
Pertanto nel presente caso, in cui j ammette due elementi tripli, anche f ammetterà 
gli stessi elementi tripli, e si annullerà identicamente il suo covariante T. Da ciò 
il teorema: 
« Le due equazioni identiche ; 
T= 0 0 T, = 0 
« sono l’una conseguenza dell’altra ». 
$ 6. o = Ag = 
In questo caso j deve ammettere un elemento quintuplo, con cui verrà. a coin- 
cidere il 6° elemento, giusta il teorema dimostrato al $ 2 di questo capitolo. 
Questo risultato si potrebbe ottenere direttamente, considerando l’essiano della 
forma j. Infatti trovando l’essiano di j, dopo parecchie trasformazioni, si ottiene la 
seguente notevole relazione: 
— 2°. 3°.5H,—5KH+-24l.j, 
dalla quale si conchiude che non può essere H; = 0, senza che sia A= 0, cioè senza 
