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Passiamo ora all'esame dei casi in cui l’essiano della sestica binaria ammette 
uno o più elementi multipli. 
I) L’essiano della sestica binaria ammette un elemento doppio, se annullasi 
il discriminante della forma fondamentale: 
D; —_ 0 ’ (1) 
ovvero se annullasi la risultante delle forme H e ;: 
RA_10P (2) 
II) L’essiano della sestica binaria ammette un elemento triplo, quando ia 
forma j ammette lo stesso elemento quadruplo, epperò quando sussistono le due rela- 
zioni invariantive : l 
K=0, Ap= Dc (3) 
Questo teorema, che si deduce immediatamente dal teorema IV, vien confermato 
dalla considerazione che in questo caso la forma j deve ammettere l'elemento del- 
l’essiano ad una multiplicità superiore alla 3*, altrimenti, giusta il teorema dimo- 
strato al $S 4, cap. VI, quell'elemento diviene anche triplo per la forma fondamentale. 
III) Se l’essiano ammette un elemento quadruplo, questo diviene triplo per 
le forme /,7 e doppio per la forma è, epperò verificansi le tre condizioni: 
3.52B—29A*=0, 33.53C—24A3=0, 3. 55D—27A5=0.° (4) 
IV) So l’essiano ammette un elemento sestuplo, questo diviene quadruplo per 
la forma 7, e verificasi l’identica equazione: 
AG=40} (5) 
V) Se l’essiano diviene la ottava potenza di un elemento, questo diviene quin- 
tuplo per la forma fondamentale e verificansi le condizioni : 
=20 A = Vo (6) 
VI) L’essiano ammette due radici doppie in uno dei tre casî seguenti: 
1) Se f ammette due elementi doppî, epperò verificansi le condizioni: 
DIO li = 3 (7) 
2) ovvero se annullasi il discriminante di e la risultante di H e }, epperò 
verificansi le condizioni: 
DAIROS liga = Vo (8) 
3) ovvero se 7 ammette due elementi doppî, epperò verificansi le condizioni: 
RE _20P ME=20E (9) 
Quest'ultima asserzione confermasi così. Per la formula (8) $ 2, cap. V, in que- 
sto caso j e H appartengono alla stessa involuzione cui appartengono gli elementi 
di /, poichè annullasi l’invariante gobbo di quest’ultima: R. Intanto, supponendo 
E; 20, non possono due elementi di j coincidere in uno dei punti doppî dell’invo- 
luzione, ma coincideranno gli elementi di una coppia con quelli di un’altra coppia, 
e in questi due elementi doppî di j verranno a coincidere due elementi doppî di H, 
essendo nulla la risultante Rx. 
VII) L’essiano ammette un elemento doppio ed un altro triplo se questi ele- 
menti sono risp. doppio per la forma fondamentale e quadruplo per la forma ), ovvero 
se verificansi le tre condizioni: 
ite=0, ATAI=201 Da = 0 (10) 
