Sulla teoria e sulla classificazione delle omografie 
in uno spazio lineare ad un numero qualunque di dimensioni. 
Memoria del dott. CORRADO SEGRE 
approvata per la stampa negli Atti dell’Accademia 
nella seduta del 6 aprile 1884. 
Le omografie, le quali occupano un posto così importante nella geometria pro- 
iettiva, paiono essere state finora poco studiate in ispazi lineari a quante si vogliano 
dimensioni. Quando la corrispondenza omografica è tra due spazi distinti o consi- 
derati come tali, il suo studio è assai semplice, riducendosi ad una facile genera- 
lizzazione delle proprietà note relative allo spazio a 3 dimensioni. Tale studio equivale 
analiticamente a quello di una forma bilineare unica, e la classificazione di quelle 
omografie è ridotta alla considerazione di omografie degeneri dotate di elementi 
singolari: in tali omografie non vi sono invarianti assoluti. Ma quando si passa @ 
considerare 1’ omografia tra due spazi ad n dimensioni considerati espressamente come 
sovrapposti, allora lo studio si complica. Dal punto di vista analitico si hanno, non 
più una sola, ma due forme bilineari da considerare, vale a dire oltre a quella forma 
che rappresenta effettivamente la corrispondenza omografica si deve considerare 
quell’ altra forma bilineare, che rappresenta la condizione perchè un punto ed un 
piano dello spazio considerato siano in posizione unita. La geometria proiettiva delle 
omografie di spazi sovrapposti coincide così colla teoria analitica invariantiva di una 
coppia di forme bilineari: la classificazione di quelle omografie nella geometria pro- 
iettiva equivale alla classificazione di queste coppie di forme bilineari nell’ algebra 
delle trasformazioni lineari. 
Ora il Weierstrass in una Memoria importante e ben nota ha risolto la que- 
stione principale della teoria analitica delle coppie di forme bilineari, mostrando quali 
siano le condizioni necessarie e sufficienti perchè due tali coppie di forme siano 
identiche dal punto di vista dell’algebra moderna, vale a dire siano trasformabili 
l'una nell'altra mediante sostituzioni lineari. Traducendo geometricamente l’ impor- 
tante teorema di Weierstrass si ha dunque appunto la classificazione geometrica delle 
omografie di spazi sovrapposti. Però questa traduzione geometrica non è tanto sem- 
plice quanto si potrebbe credere, anzi essa presenta alcune notevoli difficoltà, ed in 
fatti non crediamo che essa sia stata fatta prima d’ora. Ci pare di aver superato 
tali difficoltà mediante alcuni teoremi, che conducono ad una distinzione geometrica 
delle omografie in varie classi (corrispondentemente alle varie distribuzioni possibili 
dei divisorì elementari) ed alla considerazione degl’invarianti assoluti che corrispon- 
dono a ciascuna classe. Per le omografie delle varie classi abbiamo mostrato come 
la differenza consista nella distribuzione dei punti (o piani) uniti delle omografie stesse; 
entro ciascuna classe poi le varie omografie hanno la stessa distribuzione dei punti 
