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uniti, ma valori diversi in generale per gl’invarianti assoluti: di questi invarianti si 
ha un’interpretazione geometrica semplicissima, che fornisce anzi una proprietà im- 
portante di tutte le omografie (‘). Aggiungiamo che per queste vale un’altra propo- 
sizione notevole, che crediamo nuova, vale a dire ogni omografia particolare gode 
della proprietà, sia per la distribuzione degli elementi uniti, sia pel significato degl’ in- 
varianti assoluti, di corrispondere per dualità a se stessa (quando si scambîno tra loro 
i due spazi). 
Nella 1° parte di questo lavoro studieremo le omografie tra due spazi consi- 
derati come distinti e mostreremo quali siano dal punto di vista proiettivo le varie 
specie di tali omografie. Con ciò è chiaro che sono pure studiate e classificate 
le correlazioni tra spazi distinti, perocchè quando due spazi vengono considerati 
come distinti, i loro elementi appaiono come di natura diversa e quindi prendendo 
per elementi dell’uno i punti, si possono prendere per elementi dell’ altro (corri- 
spondenti a quelli) indifferentemente i punti od i piani, senza dover alterare in 
alcun modo i ragionamenti od i calcoli. Nella 2* parte studieremo le omografie tra 
due spazi sovrapposti, le proprietà dei loro spazi fondamentali di punti o di piani 
uniti, e mostreremo come, senza fare alcun uso di equazioni canoniche variabili da 
caso a caso, colla sola interpretazione geometrica data dal teorema di Weierstrass, 
si possa fare la classificazione di quelle omografie ed assegnarne gl’invarianti asso- 
luti (*). Infine nella 3° parte applicheremo le cose dette alla classificazione delle 
omografie non degeneri di due spazi ordinari, cioè a 3 dimensioni, sovrapposti, e 
di due piani ordinari sovrapposti (°). 
(') Da un corollario del teorema di Weierstrass relativo alle coppie di forme bilineari simme- 
triche (o forme quadratiche) si può dedurre: in modo analogo a quello tenuto nel presente lavoro 
la classificazione delle coppie di quadriche in uno spazio lineare qualunque, cosa che abbiamo fatta 
in un paragrafo della nostra dissertazione di laurea. (V. Studio sulle quadriche in uno spazio lineare 
ad un numero qualunque di dimensioni nelle Memorie della R. Acc. d. scienze di Torino, serie 2°, 
tomo XXXVI, pag. 59). Però siccome la caratteristica e gl’ invarianti assoluti del sistema di due qua- 
driche qualunque coincidono colla caratteristica e gl’invarianti assoluti dell’omografia risultante dalla 
combinazione delle polarità rispetto a queste quadriche (V. la 2* nota al n. 11), così si può ritenere 
la classificazione delle coppie di quadriche come identica in sostanza alla classificazione delle omo- 
grafie di spazi sovrapposti. 
(*) Il sig. Veronese nella Memoria /nlerprétations géométriques de la théorie des subslitutions 
den lettres etc. (Annali di matematica, serie 2°, tom. XI, pag. 93-286) considerò, oltre alla omografia 
più generale di due spazi lineari sovrapposti ad n dimensioni, certe particolari omografie, da esso 
h, ho 
chiamate collineazioni di varie specie, e la cui caratteristica è LAT Ti) essendo 
h,+h,=n+1. La loro proprietà principale, dimostrata altrimenti dal Veronese, risulta immedia- 
tamente dalla nostra teoria (v. n. 18). 
(*) Le varie specie di omografie del piano e dello spazio ordinario furono già in parte esa- 
minate da vari autori, come Hirst, Sturm, Fiedler, Clebsch e Gordan, Reye, Battaglini. Ma crediamo 
che la loro classificazione completa sia fatta per la prima volta in un lavoro del nostro carissimo 
amico dott. Gino Loria, che verrà presto pubblicato nel Giornale di matematiche (Vol. XXII). Tuttavia 
essendo il metodo da noi seguìto per ottenerla affatto diverso da quello seguìto in quel lavoro, ed 
essendovi anche tra i nostri risultati l’enumerazione degl’invarianti assoluti relativi ad ogni specie di 
omografia, abbiamo creduto bene di esporre quella classificazione alla fine di questa nostra Memoria. 
